Türev nedir?

Türev, bir şeyin bir aralıktaki ortalaması yerine tek bir anda ne kadar hızlı değiştiğini ölçer. Grafikte bu, eğri üzerindeki bir noktada teğetin eğimidir.

Ortalamadan anlığa

Bir eğri üzerindeki iki nokta arasındaki eğim ortalama değişim hızıdır: dikey artışın yatay artışa oranı. İkinci noktayı birinciye gitgide yaklaştırın, bu ortalama tek bir sayıya yaklaşır. O limit türevdir ve eğriyi tam olarak tek bir noktada betimler.

Gösterim

f'(x), f üssü x diye okunur: f fonksiyonunun türevi.
dy/dx, y'nin x'e göre türevidir. Tek bir simgedir, kesir değildir.
İkisi de aynı anlama gelir; farklı programlar farklı gösterimi yeğler.

Kuvvet kuralı

f(x) = x^n için türev f'(x) = n x^(n-1) olur. Üssü çarpan olarak aşağı indirin ve üssü bir azaltın. Başlarda karşılaşacağınız türevlerin neredeyse tamamı bu kural artı sabit bir çarpandır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Soru

f(x) = x^2 fonksiyonunun türevini bulun ve x = 3 için değerini hesaplayın.

Cevap

f'(x) = 2x, yani f'(3) = 6

Adımlar

1n = 2 ile kuvvet kuralını uygulayın: 2'yi aşağı indirin ve üssü 1'e düşürün.
2f'(x) = 2x^1 = 2x.
3x = 3 yerine koyun: f'(3) = 6.
4Anlamı: (3, 9) noktasında eğri, yatayda her bir birim için 6 birim yükseliyor.

Türev bir fonksiyondur, sayı değil. Her x için farklı bir eğim verir; sayıyı ancak bir x yerine koyunca elde edersiniz.

Örnek 2

Soru

f(x) = 3x^4 fonksiyonunun türevini bulun.

Cevap

f'(x) = 12x^3

Adımlar

1Sabit çarpan 3 kalır ve sonucu çarpar.
2x^4'e kuvvet kuralını uygulayın: 4x^3 olur.
3Baştaki 3 ile çarpın: 3 x 4x^3 = 12x^3.

Örnek 3

Soru

Bir cismin konumu t saniye sonra s(t) = 5t^2 metredir. t = 2 anındaki hızını bulun.

Cevap

20 m/s

Adımlar

1Hız, konumun zamana göre türevidir.
2Türev alın: s'(t) = 5 x 2t = 10t.
3t = 2 yerine koyun: s'(2) = 20.
4Birimler ilk fonksiyondan gelir: saniyede metre.

Türevlerin fizikte önemli olmasının nedeni budur. Konumun türevi hız, hızın türevi de ivmedir.

Sık yapılan hatalar

Türevi fonksiyon değil sayı gibi görmek.

f'(x) bir fonksiyondur. f'(3) bir sayıdır. Sorular birini ya da ötekini ister, o yüzden dikkatli okuyun.

Bir sabitin türevini alıp aynı sabiti bulmak.

Herhangi bir sabitin türevi sıfırdır, çünkü sabit hiç değişmez.

Üssü azaltıp onu çarpan olarak aşağı indirmeyi unutmak.

İkisi de olur. x^5, x^4 değil 5x^4 olur.

e^(2x) gibi bir ifadede kuvvet kuralını kullanmak.

Kuvvet kuralı, sabit bir üsse yükseltilmiş değişken için geçerlidir. Üstel ve bileşke fonksiyonların kendi kuralları vardır.

Alıştırma yap

Önce kendin çöz, sonra cevabı aç. Yarısında mı takıldın? Soruyu seç ve eksik adımı Solvecoon'a sor.

1. f(x) = x^5 fonksiyonunun türevini alın.
Cevabı göster
f'(x) = 5x^4.
2. f(x) = 7x fonksiyonunun türevini alın.
Cevabı göster
f'(x) = 7. Doğrunun eğimi sabittir.
3. f(x) = x^2 + 3x fonksiyonunun türevini alın ve x = 1 için hesaplayın.
Cevabı göster
f'(x) = 2x + 3, yani f'(1) = 5.

İnsanların sorduğu şeyler

Türev sade bir dille ne demektir?: Girdi değiştiğinde çıktının tam o anda ne kadar hızlı değiştiği. Hız, yolun türevidir ve en anlaşılır günlük örnektir.
Tanımı için neden limit gerekir?: Çünkü eğim iki nokta ister, biz ise tek noktadaki eğimi isteriz. Limit, tek noktadaki eğimi anlamlı kılan mekanizmadır.
Negatif türev ne demek?: Fonksiyonun o noktada azaldığı anlamına gelir. Negatif değer ne kadar büyükse düşüş o kadar hızlıdır.
Türev sıfırsa ne olur?: Eğri o anda yataydır: bir maksimum, minimum ya da dönüm noktası. Bu noktaları bulmak, optimizasyon problemlerinin temelidir.

Okumaya devam et

Şu anda önünde bir tane mi var?

Sayfadaki soruyu seç ya da Cmd/Ctrl + Shift + S ile yakala; Solvecoon seninle birlikte adım adım gitsin.

Chrome'a ekle →

Ücretsiz dene — günde 5 çözüm. Kart gerekmez.