O que é uma derivada?
Uma derivada mede a rapidez com que algo varia num único instante, em vez da média ao longo de um intervalo. Graficamente, é o declive da recta tangente num ponto da curva.
Da média ao instantâneo
O declive entre dois pontos de uma curva é uma taxa de variação média: variação vertical sobre variação horizontal. Faça deslizar o segundo ponto cada vez mais para junto do primeiro e essa média aproxima-se de um único número. Esse limite é a derivada, e descreve a curva em exactamente um ponto.
Notação
- f'(x) lê-se f linha de x: a derivada da função f.
- dy/dx é a derivada de y em ordem a x. É um símbolo único, não uma fracção.
- Ambas significam o mesmo; programas diferentes preferem notações diferentes.
A regra da potência
Para f(x) = x^n, a derivada é f'(x) = n x^(n-1). Baixe o expoente como multiplicador e reduza-o em uma unidade. Quase todas as derivadas que encontra no início são esta regra mais um multiplicador constante.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Pergunta
Determine a derivada de f(x) = x^2 e calcule-a em x = 3.
Resposta
f'(x) = 2x, logo f'(3) = 6
Passos
- 1Aplique a regra da potência com n = 2: baixe o 2 e reduza o expoente a 1.
- 2f'(x) = 2x^1 = 2x.
- 3Substitua x = 3: f'(3) = 6.
- 4Significado: no ponto (3, 9) a curva sobe 6 unidades de altura por unidade na horizontal.
A derivada é uma função, não um número. Dá um declive diferente em cada x, e só obtém um número ao substituir um deles.
Exemplo 2
Pergunta
Determine a derivada de f(x) = 3x^4.
Resposta
f'(x) = 12x^3
Passos
- 1O multiplicador constante 3 mantém-se e multiplica o resultado.
- 2Aplique a regra da potência a x^4: passa a 4x^3.
- 3Multiplique pelo 3 da frente: 3 x 4x^3 = 12x^3.
Exemplo 3
Pergunta
A posição de um objecto é s(t) = 5t^2 metros ao fim de t segundos. Determine a velocidade em t = 2.
Resposta
20 m/s
Passos
- 1A velocidade é a derivada da posição em ordem ao tempo.
- 2Derive: s'(t) = 5 x 2t = 10t.
- 3Substitua t = 2: s'(2) = 20.
- 4As unidades vêm da função inicial: metros por segundo.
É por isto que as derivadas contam na física. A posição deriva para velocidade, e a velocidade deriva novamente para aceleração.
Erros comuns
Tratar a derivada como um número em vez de uma função.
f'(x) é uma função. f'(3) é um número. As perguntas pedem uma coisa ou outra, portanto leia com atenção.
Derivar uma constante e obter a própria constante.
A derivada de qualquer constante é zero, porque uma constante nunca varia.
Reduzir o expoente mas esquecer de o baixar como multiplicador.
Acontecem as duas coisas. x^5 passa a 5x^4, e não a x^4.
Usar a regra da potência em algo como e^(2x).
A regra da potência aplica-se a uma variável elevada a um expoente constante. As exponenciais e as compostas têm regras próprias.
Pratica
Resolve-os primeiro e só depois abres a resposta. Empancaste a meio? Seleciona o problema e pede ao Solvecoon o passo que te falta.
1. Derive f(x) = x^5.
Ver a resposta
f'(x) = 5x^4.
2. Derive f(x) = 7x.
Ver a resposta
f'(x) = 7. Uma recta tem declive constante.
3. Derive f(x) = x^2 + 3x e calcule em x = 1.
Ver a resposta
f'(x) = 2x + 3, logo f'(1) = 5.
O que as pessoas perguntam
- O que significa a derivada por palavras simples?
- A rapidez com que a saída varia quando a entrada varia, naquele preciso momento. A velocidade é a derivada da distância, e é o exemplo do dia a dia mais claro.
- Porque é que são precisos limites para a definir?
- Porque um declive precisa de dois pontos e nós queremos o declive num só. O limite é o mecanismo que dá sentido a um declive num ponto.
- O que significa uma derivada negativa?
- Que a função é decrescente nesse ponto. Quanto mais negativo for o valor, mais depressa desce.
- E se a derivada for zero?
- A curva está momentaneamente plana: um máximo, um mínimo ou um ponto de inflexão. Encontrar esses pontos é a base dos problemas de optimização.
Tens um à tua frente?
Seleciona o problema na página ou captura-o com Cmd/Ctrl + Shift + S, e o Solvecoon resolve-o contigo.
Adicionar ao Chrome →Experimenta grátis — 5 resoluções por dia. Sem cartão.