Derivada ou integral
São operações opostas sobre a mesma relação. A derivada pega num total e devolve a taxa; o integral pega numa taxa e devolve o total. Quase toda a confusão entre as duas é, no fundo, uma dúvida sobre qual delas nos foi dada.
A versão curta
- Derivada: taxa de variação num instante. Entra uma função, sai a função do declive.
- Integral: total acumulado num intervalo. Entra uma taxa, sai a quantidade acumulada.
- Derivar e depois integrar devolve-o ao ponto de partida, a menos de uma constante.
A imagem física
A posição deriva para velocidade, e a velocidade deriva para aceleração. No sentido inverso, a aceleração integra para velocidade, e a velocidade integra para posição. As mesmas três grandezas, lidas em sentidos opostos.
O que quer a pergunta?
- Com que rapidez, a que ritmo, declive ou marginal: derivada.
- Total, área sob, acumulado ou variação líquida: integral.
- Máximo ou mínimo: derivada, porque é aí que o declive é nulo.
- Dada uma taxa, determinar a quantidade: integral.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Pergunta
Derive x^3 e depois integre o resultado. O que regressa?
Resposta
x^3 + C, a função inicial a menos de uma constante
Passos
- 1Derive x^3 pela regra da potência: 3x^2.
- 2Agora integre 3x^2: aumente o expoente e divida, obtendo 3x^3 / 3 = x^3.
- 3Some a constante: x^3 + C.
- 4A ida e volta devolve a função inicial, excepto que a constante não pode ser recuperada.
É o teorema fundamental do cálculo em miniatura: as duas operações desfazem-se uma à outra.
Exemplo 2
Pergunta
f(x) = x^2. Compare f'(2) com o integral definido de f'(x) entre 1 e 3.
Resposta
f'(2) = 4, e o integral vale 8
Passos
- 1A derivada é f'(x) = 2x, logo f'(2) = 4. Esse é o declive num único ponto.
- 2O integral definido de 2x entre 1 e 3 usa a primitiva x^2.
- 3Calcule: 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
- 4Esse 8 é a variação líquida de f entre x = 1 e x = 3, e não um declive.
- 5Portanto uma é uma taxa instantânea e o outro é uma variação total. Perguntas diferentes, números diferentes.
Exemplo 3
Pergunta
Entra água num depósito a 6t litros por minuto. Quanta entra nos primeiros 4 minutos, e com que rapidez sobe o caudal?
Resposta
48 litros no total, com o caudal a subir 6 litros por minuto em cada minuto
Passos
- 1O total acumulado é um integral: a primitiva de 6t é 3t^2.
- 2Calcule entre 0 e 4: 3(16) - 0 = 48 litros.
- 3A rapidez com que o próprio caudal varia é uma derivada: a derivada de 6t é 6.
- 4Portanto o caudal aumenta 6 litros por minuto em cada minuto que passa.
- 5A mesma função, duas perguntas diferentes, duas operações diferentes.
Erros comuns
Integrar quando a pergunta quer saber com que rapidez algo varia.
As perguntas sobre taxas são perguntas de derivada. Procure com que rapidez, por unidade ou declive no enunciado.
Derivar uma taxa para obter um total.
Os totais acumulam-se, logo integram-se. Derivar uma taxa diz-lhe como a própria taxa está a variar.
Pensar que as duas operações são temas sem ligação.
São inversas. Verificar um integral derivando usa exactamente essa relação.
Esperar que a ida e volta devolva a função inicial exactamente.
Devolve-a a menos de uma constante, porque derivar apagou qualquer constante que existisse.
Pratica
Resolve-os primeiro e só depois abres a resposta. Empancaste a meio? Seleciona o problema e pede ao Solvecoon o passo que te falta.
1. Dão-lhe uma função velocidade e pedem a distância percorrida. Que operação?
Ver a resposta
Integrar. A distância acumula a velocidade ao longo do tempo.
2. Dão-lhe uma função posição e pedem a rapidez em t = 5. Que operação?
Ver a resposta
Derivar e depois substituir t = 5.
3. Derive 4x^3 e depois integre a sua resposta.
Ver a resposta
A derivada é 12x^2, e integrá-la dá 4x^3 + C.
O que as pessoas perguntam
- Qual devo aprender primeiro?
- As derivadas, porque a integração é normalmente ensinada como a sua inversa, e qualquer integral pode ser verificado derivando.
- Um integral é apenas uma primitiva?
- Um integral indefinido é. Um integral definido é um número, calculado a partir de uma primitiva avaliada nos dois limites.
- O que é o teorema fundamental do cálculo?
- A afirmação de que estas duas operações são inversas, o que permite calcular uma área encontrando uma primitiva em vez de somar rectângulos.
- Posso derivar e integrar a mesma função?
- Pode, e fazer as duas coisas é um bom hábito. Derivar o seu integral é a forma mais rápida de o verificar.
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