微分と積分の違い
同じ関係に対する正反対の操作です。微分は総量を受け取って割合を返し、積分は割合を受け取って総量を返します。両者の取り違えは、たいてい「与えられたのはどちらか」という問題にすぎません。
短く言うと
- 微分: ある瞬間の変化率。関数を入れると、その傾きの関数が出てくる。
- 積分: ある区間での累積量。割合を入れると、積み上がった量が出てくる。
- 微分してから積分すると、定数の差を除いて出発点に戻る。
物理での見取り図
位置を微分すると速度、速度を微分すると加速度になります。逆に、加速度を積分すると速度、速度を積分すると位置になります。同じ3つの量を、反対向きに読んでいるだけです。
設問はどちらを求めているか
- どれだけ速く、どんな割合で、傾き、限界: 微分。
- 合計、下の面積、累積、正味の変化: 積分。
- 最大または最小: 微分。傾きが0になる場所だから。
- 割合が与えられて量を求める: 積分。
解いてみる例
例 1
問題
x^3 を微分し、その結果を積分しなさい。何が戻ってきますか。
答え
x^3 + C、つまり定数の差を除いたもとの関数
手順
- 1べき乗の公式で x^3 を微分: 3x^2。
- 2次に 3x^2 を積分: 指数を上げて割ると 3x^3 / 3 = x^3。
- 3定数を加える: x^3 + C。
- 4一往復するともとの関数に戻りますが、定数だけは復元できません。
これが微分積分学の基本定理のミニチュアです。2つの操作は互いを打ち消し合います。
例 2
問題
f(x) = x^2 とします。f'(2) と、f'(x) の 1 から 3 までの定積分を比べなさい。
答え
f'(2) = 4、積分は 8
手順
- 1導関数は f'(x) = 2x なので f'(2) = 4。これは1点での傾きです。
- 22x の 1 から 3 までの定積分は原始関数 x^2 を使います。
- 3評価: 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8。
- 4この 8 は x = 1 から x = 3 までの f の正味の変化量であって、傾きではありません。
- 5つまり一方は瞬間の割合、もう一方は総変化量です。違う問い、違う数です。
例 3
問題
タンクに水が毎分 6t リットルの割合で入ります。最初の4分で何リットル入り、その割合はどれだけの速さで増えていますか。
答え
合計48リットル、割合は1分あたり毎分6リットルずつ増加
手順
- 1累積の合計は積分です: 6t の原始関数は 3t^2。
- 20 から 4 まで評価: 3(16) - 0 = 48 リットル。
- 3割合そのものがどれだけ速く変わるかは微分です: 6t の導関数は 6。
- 4つまり1分たつごとに割合は毎分6リットルずつ増えます。
- 5同じ関数、2つの違う問い、2つの違う操作です。
よくあるつまずき
どれだけ速く変化しているかを問われているのに積分する。
割合の問いは微分の問いです。問題文の中の「どれだけ速く」「単位あたり」「傾き」を探しましょう。
総量を求めるのに割合を微分する。
総量は積み上がるので積分します。割合を微分すると、割合そのものの変わり方が出ます。
2つの操作を無関係な単元だと考える。
互いに逆の操作です。微分して積分を確かめるのは、まさにその関係を使っています。
一往復すればもとの関数がそっくり戻ると期待する。
戻るのは定数の差を除いてです。微分がもとあった定数を消してしまったからです。
練習する
まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。
1. 速度の関数が与えられ、進んだ距離を求めよと言われました。どちらの操作ですか。
答えを見る
積分です。距離は時間にわたって速度を積み上げます。
2. 位置の関数が与えられ、t = 5 での速さを求めよと言われました。どちらの操作ですか。
答えを見る
微分してから t = 5 を代入します。
3. 4x^3 を微分し、その答えを積分しなさい。
答えを見る
導関数は 12x^2 で、それを積分すると 4x^3 + C。
よく聞かれること
- どちらを先に学ぶべきですか。
- 微分です。積分はたいてい微分の逆として教えられますし、どの積分も微分で確かめられるからです。
- 積分は原始関数のことにすぎないのですか。
- 不定積分はそうです。定積分は数であり、原始関数を両端で評価して計算します。
- 微分積分学の基本定理とは何ですか。
- この2つの操作が互いに逆であるという主張です。おかげで長方形を足し上げる代わりに、原始関数を見つけて面積を求められます。
- 同じ関数を微分も積分もできますか。
- できますし、両方やるのはよい習慣です。自分の積分を微分するのが、いちばん速い確認方法です。
いま目の前にありますか？
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