Derivada frente a integral
Son operaciones opuestas sobre la misma relación. Una derivada toma un total y te dice la tasa; una integral toma una tasa y te dice el total. Casi toda confusión entre ambas es en realidad una pregunta sobre cuál de las dos te han dado.
La versión corta
- Derivada: tasa de cambio en un instante. Entra una función, sale su función pendiente.
- Integral: total acumulado en un intervalo. Entra una tasa, sale la cantidad acumulada.
- Derivar y luego integrar te devuelve al punto de partida, salvo por una constante.
La imagen física
La posición se deriva en velocidad, y la velocidad se deriva en aceleración. En el otro sentido, la aceleración se integra en velocidad, y la velocidad se integra en posición. Las mismas tres magnitudes, leídas en direcciones opuestas.
¿Qué pide la pregunta?
- Con qué rapidez, a qué ritmo, pendiente o marginal: derivada.
- Total, área bajo, acumulado o cambio neto: integral.
- Máximo o mínimo: derivada, porque ahí es donde la pendiente vale cero.
- Dada una tasa, halla la cantidad: integral.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Pregunta
Deriva x^3 y luego integra el resultado. ¿Qué vuelve?
Respuesta
x^3 + C, la función original salvo por una constante
Pasos
- 1Deriva x^3 con la regla de la potencia: 3x^2.
- 2Ahora integra 3x^2: sube el exponente y divide, dando 3x^3 / 3 = x^3.
- 3Añade la constante: x^3 + C.
- 4El viaje de ida y vuelta devuelve la función original, salvo que la constante no se puede recuperar.
Este es el teorema fundamental del cálculo en miniatura: las dos operaciones se deshacen entre sí.
Ejemplo 2
Pregunta
f(x) = x^2. Compara f'(2) con la integral definida de f'(x) entre 1 y 3.
Respuesta
f'(2) = 4, y la integral es 8
Pasos
- 1La derivada es f'(x) = 2x, así que f'(2) = 4. Esa es la pendiente en un solo punto.
- 2La integral definida de 2x entre 1 y 3 usa la primitiva x^2.
- 3Evalúa: 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
- 4Ese 8 es el cambio neto de f entre x = 1 y x = 3, no una pendiente.
- 5Así que una es una tasa instantánea y la otra un cambio total. Preguntas distintas, números distintos.
Ejemplo 3
Pregunta
El agua entra en un depósito a 6t litros por minuto. ¿Cuánta entra en los primeros 4 minutos, y con qué rapidez sube el caudal?
Respuesta
48 litros en total, con el caudal subiendo 6 litros por minuto cada minuto
Pasos
- 1El total acumulado es una integral: la primitiva de 6t es 3t^2.
- 2Evalúa entre 0 y 4: 3(16) - 0 = 48 litros.
- 3Con qué rapidez cambia el propio caudal es una derivada: la derivada de 6t es 6.
- 4Así que el caudal aumenta 6 litros por minuto por cada minuto que pasa.
- 5La misma función, dos preguntas distintas, dos operaciones distintas.
Errores habituales
Integrar cuando la pregunta pide con qué rapidez cambia algo.
Las preguntas de tasa son preguntas de derivada. Busca con qué rapidez, por unidad o pendiente en el enunciado.
Derivar una tasa para hallar un total.
Los totales se acumulan, así que se integran. Derivar una tasa te da cómo cambia la propia tasa.
Pensar que las dos operaciones son temas sin relación.
Son inversas. Comprobar una integral derivando usa exactamente esa relación.
Esperar que el viaje de ida y vuelta devuelva la original exactamente.
La devuelve salvo por una constante, porque derivar borró cualquier constante que hubiera.
Practícalo
Resuélvelos primero tú y luego abre la respuesta. ¿Atascado a medias? Selecciona el problema y pídele a Solvecoon el paso que te falta.
1. Te dan una función de velocidad y te piden la distancia recorrida. ¿Qué operación?
Ver la respuesta
Integrar. La distancia acumula la velocidad a lo largo del tiempo.
2. Te dan una función de posición y te piden la rapidez en t = 5. ¿Qué operación?
Ver la respuesta
Derivar y luego sustituir t = 5.
3. Deriva 4x^3 y luego integra tu respuesta.
Ver la respuesta
La derivada es 12x^2, e integrar eso da 4x^3 + C.
Lo que suele preguntarse
- ¿Cuál debería aprender primero?
- Las derivadas, porque la integración se enseña casi siempre como su inversa, y toda integral se comprueba derivando.
- ¿Una integral es solo una primitiva?
- Una integral indefinida sí. Una integral definida es un número, calculado a partir de una primitiva evaluándola en los dos límites.
- ¿Qué es el teorema fundamental del cálculo?
- La afirmación de que estas dos operaciones son inversas, que es lo que permite calcular un área hallando una primitiva en vez de sumar rectángulos.
- ¿Puedo derivar e integrar la misma función?
- Sí, y hacer las dos cosas es una buena costumbre. Derivar tu integral es la forma más rápida de comprobarla.
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