Dérivée ou intégrale
Ce sont deux opérations opposées sur la même relation. Une dérivée prend un total et vous donne le taux ; une intégrale prend un taux et vous donne le total. Presque toute confusion entre les deux est en réalité une question sur celle qu'on vous a donnée.
La version courte
- Dérivée : taux de variation à un instant. En entrée une fonction, en sortie sa fonction pente.
- Intégrale : total accumulé sur un intervalle. En entrée un taux, en sortie la quantité accumulée.
- Dériver puis intégrer vous ramène au point de départ, à une constante près.
L'image physique
La position se dérive en vitesse, et la vitesse se dérive en accélération. Dans l'autre sens, l'accélération s'intègre en vitesse, et la vitesse s'intègre en position. Les mêmes trois grandeurs, lues dans des directions opposées.
Que demande la question ?
- À quelle vitesse, à quel rythme, pente ou marginal : dérivée.
- Total, aire sous, accumulé ou variation nette : intégrale.
- Maximum ou minimum : dérivée, car c'est là que la pente s'annule.
- Étant donné un taux, trouver la quantité : intégrale.
Exemples détaillés
Exemple 1
Question
Dérivez x^3, puis intégrez le résultat. Que retrouve-t-on ?
Réponse
x^3 + C, la fonction de départ à une constante près
Étapes
- 1Dérivez x^3 avec la règle de la puissance : 3x^2.
- 2Intégrez maintenant 3x^2 : augmentez l'exposant et divisez, ce qui donne 3x^3 / 3 = x^3.
- 3Ajoutez la constante : x^3 + C.
- 4L'aller-retour rend la fonction de départ, à ceci près que la constante ne peut pas être retrouvée.
C'est le théorème fondamental de l'analyse en miniature : les deux opérations se défont l'une l'autre.
Exemple 2
Question
f(x) = x^2. Comparez f'(2) à l'intégrale définie de f'(x) de 1 à 3.
Réponse
f'(2) = 4, et l'intégrale vaut 8
Étapes
- 1La dérivée est f'(x) = 2x, donc f'(2) = 4. C'est la pente en un seul point.
- 2L'intégrale définie de 2x de 1 à 3 utilise la primitive x^2.
- 3Évaluez : 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
- 4Ce 8 est la variation nette de f entre x = 1 et x = 3, pas une pente.
- 5L'une est donc un taux instantané et l'autre une variation totale. Des questions différentes, des nombres différents.
Exemple 3
Question
De l'eau entre dans un réservoir à 6t litres par minute. Combien en entre-t-il en 4 minutes, et à quelle vitesse le débit augmente-t-il ?
Réponse
48 litres au total, le débit augmentant de 6 litres par minute chaque minute
Étapes
- 1Le total accumulé est une intégrale : la primitive de 6t est 3t^2.
- 2Évaluez de 0 à 4 : 3(16) - 0 = 48 litres.
- 3À quelle vitesse le débit lui-même change est une dérivée : la dérivée de 6t vaut 6.
- 4Le débit augmente donc de 6 litres par minute pour chaque minute qui passe.
- 5La même fonction, deux questions différentes, deux opérations différentes.
Erreurs fréquentes
Intégrer quand la question demande à quelle vitesse quelque chose change.
Les questions de taux sont des questions de dérivée. Cherchez à quelle vitesse, par unité ou pente dans l'énoncé.
Dériver un taux pour trouver un total.
Les totaux s'accumulent, donc ils s'intègrent. Dériver un taux vous dit comment le taux lui-même change.
Penser que les deux opérations sont des chapitres sans lien.
Elles sont inverses. Vérifier une intégrale en dérivant utilise exactement cette relation.
Attendre de l'aller-retour qu'il rende exactement la fonction de départ.
Il la rend à une constante près, parce que dériver a effacé toute constante qui s'y trouvait.
À toi de t'entraîner
Résous-les d'abord, puis ouvre la réponse. Bloqué à mi-chemin ? Sélectionne l'exercice et demande à Solvecoon l'étape qui te manque.
1. On vous donne une fonction vitesse et on demande la distance parcourue. Quelle opération ?
Voir la réponse
Intégrer. La distance accumule la vitesse au fil du temps.
2. On vous donne une fonction position et on demande la vitesse à t = 5. Quelle opération ?
Voir la réponse
Dériver, puis substituer t = 5.
3. Dérivez 4x^3, puis intégrez votre réponse.
Voir la réponse
La dérivée est 12x^2, et l'intégrer donne 4x^3 + C.
Les questions qu'on nous pose
- Laquelle apprendre en premier ?
- Les dérivées, parce que l'intégration s'enseigne généralement comme leur inverse, et que toute intégrale se vérifie en dérivant.
- Une intégrale n'est-elle qu'une primitive ?
- Une intégrale indéfinie, oui. Une intégrale définie est un nombre, calculé à partir d'une primitive évaluée aux deux bornes.
- Qu'est-ce que le théorème fondamental de l'analyse ?
- L'énoncé selon lequel ces deux opérations sont inverses, ce qui permet de calculer une aire en trouvant une primitive plutôt qu'en sommant des rectangles.
- Puis-je dériver et intégrer la même fonction ?
- Oui, et faire les deux est une bonne habitude. Dériver votre intégrale est la façon la plus rapide de la vérifier.
Tu en as un sous les yeux ?
Sélectionne l'exercice sur la page ou capture-le avec Cmd/Ctrl + Maj + S, et Solvecoon le déroule avec toi.
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