Производная и интеграл
Это противоположные операции над одной и той же связью. Производная берёт суммарную величину и выдаёт скорость; интеграл берёт скорость и выдаёт суммарную величину. Почти любая путаница между ними — на самом деле вопрос о том, что именно вам дали.
Коротко
- Производная: скорость изменения в момент. На входе функция, на выходе функция её наклона.
- Интеграл: накопленная величина на промежутке. На входе скорость, на выходе накопленное количество.
- Продифференцировать, а затем проинтегрировать — значит вернуться к началу с точностью до постоянной.
Физическая картина
Положение дифференцируется в скорость, а скорость — в ускорение. В обратную сторону ускорение интегрируется в скорость, а скорость — в положение. Те же три величины, прочитанные в противоположных направлениях.
Что требует задача?
- Как быстро, с какой скоростью, наклон или предельный: производная.
- Суммарно, площадь под, накоплено или чистое изменение: интеграл.
- Максимум или минимум: производная, потому что там наклон равен нулю.
- Дана скорость, найти количество: интеграл.
Разобранные примеры
Пример 1
Вопрос
Продифференцируйте x^3, затем проинтегрируйте результат. Что вернётся?
Ответ
x^3 + C, исходная функция с точностью до постоянной
Шаги
- 1Дифференцируем x^3 по правилу степени: 3x^2.
- 2Теперь интегрируем 3x^2: повышаем показатель и делим, получаем 3x^3 / 3 = x^3.
- 3Прибавляем постоянную: x^3 + C.
- 4Круговой ход возвращает исходную функцию, но постоянную восстановить невозможно.
Это основная теорема анализа в миниатюре: две операции взаимно уничтожают друг друга.
Пример 2
Вопрос
f(x) = x^2. Сравните f'(2) и определённый интеграл от f'(x) в пределах от 1 до 3.
Ответ
f'(2) = 4, а интеграл равен 8
Шаги
- 1Производная равна f'(x) = 2x, значит f'(2) = 4. Это наклон в одной точке.
- 2Определённый интеграл от 2x от 1 до 3 использует первообразную x^2.
- 3Вычисляем: 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
- 4Эта восьмёрка — чистое изменение f между x = 1 и x = 3, а не наклон.
- 5Итак, одно — мгновенная скорость, другое — полное изменение. Разные вопросы, разные числа.
Пример 3
Вопрос
Вода поступает в бак со скоростью 6t литров в минуту. Сколько её наберётся за первые 4 минуты и как быстро растёт сам расход?
Ответ
48 литров всего, а расход растёт на 6 литров в минуту каждую минуту
Шаги
- 1Накопленный объём — это интеграл: первообразная от 6t равна 3t^2.
- 2Вычисляем от 0 до 4: 3(16) - 0 = 48 литров.
- 3Как быстро меняется сам расход — это производная: производная от 6t равна 6.
- 4Значит, с каждой минутой расход увеличивается на 6 литров в минуту.
- 5Та же функция, два разных вопроса, две разные операции.
Частые ошибки
Интегрировать, когда спрашивают, как быстро что-то меняется.
Вопросы о скорости — это вопросы о производной. Ищите в условии «как быстро», «на единицу» или «наклон».
Дифференцировать скорость, чтобы найти суммарную величину.
Суммарные величины накапливаются, а значит интегрируются. Дифференцирование скорости показывает, как меняется сама скорость.
Считать эти две операции несвязанными темами.
Они взаимно обратны. Проверка интеграла дифференцированием использует именно эту связь.
Ждать, что круговой ход вернёт исходную функцию в точности.
Он возвращает её с точностью до постоянной, потому что дифференцирование стёрло любую бывшую там константу.
Потренируйтесь
Сначала решите сами, потом откройте ответ. Застряли на середине? Выделите задачу и спросите у Solvecoon недостающий шаг.
1. Дана функция скорости, спрашивают пройденный путь. Какая операция?
Показать ответ
Интегрирование. Путь накапливает скорость во времени.
2. Дана функция положения, спрашивают скорость при t = 5. Какая операция?
Показать ответ
Продифференцировать, а затем подставить t = 5.
3. Продифференцируйте 4x^3, затем проинтегрируйте свой ответ.
Показать ответ
Производная равна 12x^2, а её интегрирование даёт 4x^3 + C.
О чём спрашивают
- Что учить первым?
- Производные, потому что интегрирование обычно преподают как обратную операцию, а любой интеграл проверяется дифференцированием.
- Интеграл — это просто первообразная?
- Неопределённый — да. Определённый интеграл — это число, вычисленное из первообразной подстановкой обоих пределов.
- Что такое основная теорема анализа?
- Утверждение, что эти две операции взаимно обратны; именно оно позволяет находить площадь через первообразную, а не суммированием прямоугольников.
- Можно ли одну и ту же функцию и дифференцировать, и интегрировать?
- Можно, и делать и то и другое — хорошая привычка. Продифференцировать свой интеграл — самый быстрый способ его проверить.
Одна такая прямо перед вами?
Выделите задачу на странице или заснимите её через Cmd/Ctrl + Shift + S, и Solvecoon разберёт её вместе с вами.
Добавить в Chrome →Попробуйте бесплатно — 5 решений в день. Без карты.