Solvecoon导数与积分
它们是对同一种关系的相反运算。导数拿到总量，给出变化率；积分拿到变化率，给出总量。几乎所有把两者搞混的情形，实际上都是在问「给我的是哪一个」。
简短版
- 导数：某一瞬间的变化率。输入一个函数，输出它的斜率函数。
- 积分：某个区间上的累积总量。输入一个变化率，输出累积起来的量。
- 先求导再积分，会回到出发点，只差一个常数。
物理图景
位置求导得到速度，速度求导得到加速度。反过来，加速度积分得到速度，速度积分得到位置。同样三个量，只是读的方向相反。
题目要的是哪一个？
- 多快、以什么速率、斜率或边际：导数。
- 总量、下方面积、累积或净变化：积分。
- 最大值或最小值：导数，因为那正是斜率为零的地方。
- 给了一个变化率，要求出总量：积分。
例题详解
例 1
题目
对 x^3 求导，再把结果积分。回来的是什么？
答案
x^3 + C，也就是相差一个常数的原函数
步骤
- 1用幂法则对 x^3 求导：3x^2。
- 2现在对 3x^2 积分：指数加一再相除，得到 3x^3 / 3 = x^3。
- 3加上常数：x^3 + C。
- 4这一来一回还原了原函数，只是那个常数无法找回。
这就是微积分基本定理的缩微版：两种运算互相抵消。
例 2
题目
设 f(x) = x^2。比较 f'(2) 与 f'(x) 从 1 到 3 的定积分。
答案
f'(2) = 4，而积分等于 8
步骤
- 1导数是 f'(x) = 2x，所以 f'(2) = 4。这是单独一点处的斜率。
- 22x 从 1 到 3 的定积分要用原函数 x^2。
- 3求值：3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8。
- 4这个 8 是 f 在 x = 1 到 x = 3 之间的净变化量，不是斜率。
- 5所以一个是瞬时变化率，另一个是总变化量。不同的问题，不同的数。
例 3
题目
水以每分钟 6t 升的速率注入水箱。前 4 分钟注入多少，注入速率本身又上升得多快？
答案
共 48 升，注入速率每过一分钟增加 6 升每分钟
步骤
- 1累积总量是积分：6t 的原函数是 3t^2。
- 2从 0 到 4 求值：3(16) - 0 = 48 升。
- 3速率本身变化得多快则是导数：6t 的导数是 6。
- 4所以每过一分钟，注入速率就增加 6 升每分钟。
- 5同一个函数，两个不同的问题，两种不同的运算。
常见错误
题目问某个量变化得多快，却去做积分。
问变化率的题就是导数题。在题干里找「多快」「每单位」「斜率」这类字眼。
对一个变化率求导来求总量。
总量是累积起来的，所以要积分。对变化率求导，给出的是这个速率本身如何变化。
以为这两种运算是彼此无关的内容。
它们互为逆运算。用求导来检验积分，靠的正是这层关系。
指望一来一回能原封不动地还原原函数。
它只能还原到相差一个常数，因为求导已经抹掉了原有的常数。
动手练一练
先自己算，再打开答案。算到一半卡住了？选中题目，问 Solvecoon 你缺的那一步。
1. 给出速度函数，要求行驶的路程。用哪种运算？
查看答案
积分。路程是速度随时间的累积。
2. 给出位置函数，要求 t = 5 时的速率。用哪种运算？
查看答案
先求导，再代入 t = 5。
3. 对 4x^3 求导，再把你的答案积分。
查看答案
导数是 12x^2，把它积分得到 4x^3 + C。
大家常问的问题
- 该先学哪一个？
- 先学导数，因为积分通常是作为求导的逆运算来讲的，而且任何积分都能靠求导来检验。
- 积分就只是原函数吗？
- 不定积分是。定积分是一个数，由原函数在两个限处求值算出来。
- 什么是微积分基本定理？
- 它说的是这两种运算互为逆运算，正因如此才能靠求原函数来算面积，而不必去把矩形一个个加起来。
- 同一个函数既能求导又能积分吗？
- 能，而且两件事都做是个好习惯。对自己的积分求导，是检验它最快的方法。