Solvecoon什么是积分？
如果说导数问的是某个量变化得有多快，那么积分问的就是它累积了多少。几何上这是曲线下的面积，物理上则是某个变化率累积出来的总量。
是累积，不只是面积
把曲线下的区域切成细长的矩形，把它们的面积加起来，再让切片越来越窄。这个和的极限就是积分。面积是图像，而思想是累积：如果曲线表示速度，面积就是路程。
不定积分与定积分
- 不定积分没有上下限，得到的是一族函数，所以末尾要加上 加 C。
- 定积分有上下限，得到的是一个确定的数。
- 求定积分时，把原函数在上限处求值，再减去它在下限处的值。
为什么要加 C
求导会抹掉常数：x^2 + 7 和 x^2 - 3 求导都得到 2x。反过来做无法还原原本是哪个常数，所以每个不定积分都带着一个未知常数。在定积分里，这个常数会在相减时抵消，因此那里从不写它。
例题详解
例 1
题目
求 2x 关于 x 的不定积分。
答案
x^2 + C
步骤
- 1先问：哪个函数求导后是 2x。
- 2幂法则反过来用：指数加一，再除以新的指数。
- 32x 变成 2x^2 / 2 = x^2。
- 4加上积分常数：x^2 + C。
- 5求导检验：x^2 + C 的导数是 2x。
例 2
题目
计算 2x 从 0 到 3 的定积分。
答案
9
步骤
- 1先求原函数：x^2。
- 2在上限处求值：3^2 = 9。
- 3在下限处求值：0^2 = 0。
- 4相减：9 - 0 = 9。
- 5不会出现常数，因为它在相减时会抵消。
几何上这就是底为 3、高为 6 的三角形的面积，也等于 9。两种方法必然吻合。
例 3
题目
一辆汽车的速度为 v(t) = 6t 米每秒。前 4 秒内它行驶了多远？
答案
48 米
步骤
- 1路程是速度的累积，所以把 v(t) 从 0 积到 4。
- 26t 的原函数是 3t^2。
- 3在上限处：3(4)^2 = 48。
- 4在下限处：3(0)^2 = 0。
- 5相减：48 - 0 = 48 米。
常见错误
不定积分里漏掉 加 C。
不定积分总要带着它。在多数评分标准里这就是一分。
在定积分里写上 加 C。
它在相减时抵消，所以永远不会出现在定积分的答案里。
上下限相减的顺序搞反。
永远是上限减下限。颠倒会让答案变号。
以为定积分总等于实际面积。
在坐标轴下方，积分的贡献是负的。要求总面积，就在交点处分段并取绝对值。
动手练一练
先自己算，再打开答案。算到一半卡住了？选中题目，问 Solvecoon 你缺的那一步。
1. 求 3x^2 关于 x 的积分。
查看答案
x^3 + C。求导检验即可。
2. 计算 4x 从 1 到 2 的积分。
查看答案
6。原函数是 2x^2，所以 8 - 2 = 6。
3. 求 (x + 1) 关于 x 的积分。
查看答案
x^2/2 + x + C。
大家常问的问题
- 积分就只是面积吗？
- 面积是图像，累积才是含义。对速度积分得到路程，对流量积分得到体积。
- 怎么检验一个积分？
- 对你的答案求导。如果没回到原函数，积分就是错的，而这个检验只要几秒钟。
- 为什么定积分里那个常数不重要？
- 因为它在上下限都会出现，相减时抵消，所以永远影响不了结果。
- 积分会是负数吗？
- 会，当曲线在该区间位于坐标轴下方时。这是正确的行为，不是错误。