Was ist ein Integral?
Wo eine Ableitung fragt, wie schnell sich etwas ändert, fragt ein Integral, wie viel sich angesammelt hat. Geometrisch ist das die Fläche unter einer Kurve, physikalisch die Gesamtmenge, die eine Rate aufgebaut hat.
Ansammlung, nicht nur Fläche
Zerschneide die Fläche unter einer Kurve in dünne Rechtecke, addiere ihre Flächen und lass die Streifen dünner werden. Der Grenzwert dieser Summe ist das Integral. Die Fläche ist das Bild, aber die Idee ist Ansammlung: ist die Kurve eine Geschwindigkeit, ist die Fläche eine Strecke.
Unbestimmt gegen bestimmt
- Ein unbestimmtes Integral hat keine Grenzen und liefert eine Funktionenschar, weshalb es auf plus C endet.
- Ein bestimmtes Integral hat Grenzen und liefert eine einzelne Zahl.
- Bei einem bestimmten Integral wertest du die Stammfunktion an der oberen Grenze aus und ziehst ihren Wert an der unteren ab.
Warum plus C
Ableiten vernichtet Konstanten: x^2 + 7 und x^2 - 3 werden beide zu 2x. Der umgekehrte Vorgang kann nicht wissen, welche Konstante da war, also trägt jedes unbestimmte Integral eine unbekannte Konstante. Beim bestimmten Integral hebt sich die Konstante in der Subtraktion weg, weshalb sie dort nie geschrieben wird.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Frage
Bestimme das unbestimmte Integral von 2x nach x.
Antwort
x^2 + C
Schritte
- 1Frag, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt.
- 2Potenzregel rückwärts: Exponenten um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen.
- 3Aus 2x wird 2x^2 / 2 = x^2.
- 4Integrationskonstante addieren: x^2 + C.
- 5Probe durch Ableiten: die Ableitung von x^2 + C ist 2x.
Beispiel 2
Frage
Berechne das bestimmte Integral von 2x von 0 bis 3.
Antwort
9
Schritte
- 1Zuerst die Stammfunktion bestimmen: x^2.
- 2An der oberen Grenze auswerten: 3^2 = 9.
- 3An der unteren Grenze auswerten: 0^2 = 0.
- 4Subtrahieren: 9 - 0 = 9.
- 5Es taucht keine Konstante auf, weil sie sich in der Subtraktion wegheben würde.
Geometrisch ist das die Fläche eines Dreiecks mit Grundseite 3 und Höhe 6, also ebenfalls 9. Die beiden Methoden stimmen überein, wie sie müssen.
Beispiel 3
Frage
Die Geschwindigkeit eines Autos ist v(t) = 6t m/s. Wie weit fährt es in den ersten 4 Sekunden?
Antwort
48 Meter
Schritte
- 1Die Strecke ist die angesammelte Geschwindigkeit, also integriere v(t) von 0 bis 4.
- 2Die Stammfunktion von 6t ist 3t^2.
- 3An der oberen Grenze: 3(4)^2 = 48.
- 4An der unteren Grenze: 3(0)^2 = 0.
- 5Subtrahieren: 48 - 0 = 48 Meter.
Typische Fehler
Das plus C beim unbestimmten Integral weglassen.
Unbestimmte Integrale tragen es immer. In den meisten Bewertungsschemata ist es ein Punkt.
Plus C an ein bestimmtes Integral schreiben.
Es hebt sich in der Subtraktion weg, also taucht es in einer bestimmten Antwort nie auf.
Die Grenzen in der falschen Reihenfolge subtrahieren.
Obere minus untere, immer. Vertauscht kippt das Vorzeichen der Antwort.
Annehmen, ein bestimmtes Integral sei immer die physische Fläche.
Unterhalb der Achse trägt das Integral negativ bei. Für die Gesamtfläche musst du an den Nullstellen aufteilen und Beträge nehmen.
Selbst üben
Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.
1. Integriere 3x^2 nach x.
Antwort zeigen
x^3 + C. Prüf durch Ableiten.
2. Berechne das Integral von 4x von 1 bis 2.
Antwort zeigen
6. Die Stammfunktion ist 2x^2, also 8 - 2 = 6.
3. Integriere (x + 1) nach x.
Antwort zeigen
x^2/2 + x + C.
Was oft gefragt wird
- Ist ein Integral einfach nur Fläche?
- Fläche ist das Bild, Ansammlung ist die Bedeutung. Eine Geschwindigkeit integriert ergibt eine Strecke, und eine Durchflussrate integriert ergibt ein Volumen.
- Wie prüfe ich ein Integral?
- Leite deine Antwort ab. Kommst du nicht auf die Ausgangsfunktion zurück, ist die Integration falsch, und diese Probe dauert Sekunden.
- Warum spielt die Konstante bei bestimmten Integralen keine Rolle?
- Weil sie an beiden Grenzen auftaucht und sich beim Subtrahieren weghebt, also die Zahl nie beeinflussen kann.
- Kann ein Integral negativ sein?
- Ja, wenn die Kurve in diesem Intervall unterhalb der Achse liegt. Das ist korrektes Verhalten, kein Fehler.
Hast du gerade eine vor dir?
Markier die Aufgabe auf der Seite oder schnapp sie mit Cmd/Strg + Umschalt + S, und Solvecoon geht sie mit dir durch.
Zu Chrome hinzufügen →Kostenlos testen — 5 Lösungen pro Tag. Keine Kreditkarte.