Solvecoon

Czym jest całka?

Tam gdzie pochodna pyta, jak szybko coś się zmienia, całka pyta, ile się nazbierało. Geometrycznie jest to pole pod krzywą, a fizycznie suma, którą zbudowało pewne tempo.

Kumulacja, nie tylko pole

Potnij obszar pod krzywą na cienkie prostokąty, dodaj ich pola i pozwól paskom stawać się coraz węższe. Granica tej sumy to całka. Pole jest obrazem, ale ideą jest kumulacja: jeśli krzywa opisuje prędkość, pole jest drogą.

Nieoznaczona a oznaczona

  • Całka nieoznaczona nie ma granic i daje rodzinę funkcji, dlatego kończy się na plus C.
  • Całka oznaczona ma granice i daje jedną liczbę.
  • Dla całki oznaczonej oblicz funkcję pierwotną w górnej granicy i odejmij jej wartość w dolnej.

Dlaczego plus C

Różniczkowanie niszczy stałe: x^2 + 7 i x^2 - 3 różniczkują się do 2x. Odwrócenie tego procesu nie potrafi odtworzyć, która stała tam była, więc każda całka nieoznaczona niesie nieznaną stałą. W całce oznaczonej stała skraca się przy odejmowaniu i dlatego nigdy się jej tam nie zapisuje.

Rozpisane przykłady

Przykład 1

Pytanie

Znajdź całkę nieoznaczoną z 2x względem x.

Odpowiedź

x^2 + C

Kroki

  1. 1Zapytaj, która funkcja różniczkuje się do 2x.
  2. 2Reguła potęgowa na odwrót: zwiększ wykładnik o jeden i podziel przez nowy wykładnik.
  3. 32x staje się 2x^2 / 2 = x^2.
  4. 4Dodaj stałą całkowania: x^2 + C.
  5. 5Sprawdź przez różniczkowanie: pochodna x^2 + C to 2x.

Przykład 2

Pytanie

Oblicz całkę oznaczoną z 2x od 0 do 3.

Odpowiedź

9

Kroki

  1. 1Najpierw znajdź funkcję pierwotną: x^2.
  2. 2Oblicz w górnej granicy: 3^2 = 9.
  3. 3Oblicz w dolnej granicy: 0^2 = 0.
  4. 4Odejmij: 9 - 0 = 9.
  5. 5Stała się nie pojawia, bo skróciłaby się przy odejmowaniu.

Geometrycznie jest to pole trójkąta o podstawie 3 i wysokości 6, czyli również 9. Obie metody się zgadzają, tak jak muszą.

Przykład 3

Pytanie

Prędkość samochodu to v(t) = 6t m/s. Jaką drogę przebywa w pierwszych 4 sekundach?

Odpowiedź

48 metrów

Kroki

  1. 1Droga to skumulowana prędkość, więc scałkuj v(t) od 0 do 4.
  2. 2Funkcja pierwotna z 6t to 3t^2.
  3. 3W górnej granicy: 3(4)^2 = 48.
  4. 4W dolnej granicy: 3(0)^2 = 0.
  5. 5Odejmij: 48 - 0 = 48 metrów.

Częste błędy

Pominięcie plus C w całce nieoznaczonej.

Całki nieoznaczone zawsze je niosą. W większości schematów oceniania to jeden punkt.

Dopisanie plus C do całki oznaczonej.

Skraca się przy odejmowaniu, więc nigdy nie pojawia się w wyniku całki oznaczonej.

Odjęcie granic w złej kolejności.

Górna minus dolna, zawsze. Zamiana zmienia znak wyniku.

Założenie, że całka oznaczona to zawsze fizyczne pole.

Pod osią całka wnosi wkład ujemny. Dla pola całkowitego podziel w miejscach przecięcia i weź wartości bezwzględne.

Poćwicz

Najpierw rozwiąż je sam, potem otwórz odpowiedź. Utknąłeś w połowie? Zaznacz zadanie i poproś Solvecoon o brakujący krok.

  • 1. Scałkuj 3x^2 względem x.

    Pokaż odpowiedź

    x^3 + C. Sprawdź przez różniczkowanie.

  • 2. Oblicz całkę z 4x od 1 do 2.

    Pokaż odpowiedź

    6. Funkcja pierwotna to 2x^2, więc 8 - 2 = 6.

  • 3. Scałkuj (x + 1) względem x.

    Pokaż odpowiedź

    x^2/2 + x + C.

O co ludzie pytają

Czy całka to tylko pole?
Pole jest obrazem, kumulacja jest znaczeniem. Całkowanie prędkości daje drogę, a całkowanie natężenia przepływu daje objętość.
Jak sprawdzić całkę?
Zróżniczkuj swój wynik. Jeśli nie wraca funkcja wyjściowa, całkowanie jest błędne, a to sprawdzenie zajmuje sekundy.
Dlaczego stała nie ma znaczenia w całkach oznaczonych?
Bo pojawia się w obu granicach i skraca się przy odejmowaniu, więc nie może wpłynąć na wynik.
Czy całka może być ujemna?
Tak, gdy krzywa leży pod osią na tym przedziale. To poprawne zachowanie, a nie błąd.
Szop, maskotka Solvecoon

Masz jedno przed sobą?

Zaznacz zadanie na stronie albo zrób zrzut przez Cmd/Ctrl + Shift + S, a Solvecoon przejdzie je z tobą.

Dodaj do Chrome →

Wypróbuj za darmo — 5 rozwiązań dziennie. Bez karty.