¿Qué es una integral?
Donde una derivada pregunta con qué rapidez cambia algo, una integral pregunta cuánto se ha acumulado. Geométricamente es el área bajo una curva, y físicamente es el total que una tasa ha ido construyendo.
Acumulación, no solo área
Corta la región bajo una curva en rectángulos finos, suma sus áreas y deja que las tiras se estrechen. El límite de esa suma es la integral. El área es la imagen, pero la idea es la acumulación: si la curva es una velocidad, el área es una distancia.
Indefinida frente a definida
- Una integral indefinida no tiene límites y produce una familia de funciones, y por eso termina en más C.
- Una integral definida tiene límites y produce un único número.
- Para una integral definida, evalúa la primitiva en el límite superior y resta su valor en el inferior.
Por qué el más C
Derivar destruye las constantes: x^2 + 7 y x^2 - 3 se derivan las dos en 2x. Invertir el proceso no puede recuperar qué constante había, así que toda integral indefinida arrastra una constante desconocida. En una integral definida la constante se cancela en la resta, y por eso allí nunca se escribe.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Pregunta
Halla la integral indefinida de 2x respecto de x.
Respuesta
x^2 + C
Pasos
- 1Pregúntate qué función se deriva en 2x.
- 2La regla de la potencia al revés: sube el exponente en uno y divide entre el nuevo exponente.
- 32x se convierte en 2x^2 / 2 = x^2.
- 4Añade la constante de integración: x^2 + C.
- 5Comprueba derivando: la derivada de x^2 + C es 2x.
Ejemplo 2
Pregunta
Calcula la integral definida de 2x entre 0 y 3.
Respuesta
9
Pasos
- 1Halla primero la primitiva: x^2.
- 2Evalúa en el límite superior: 3^2 = 9.
- 3Evalúa en el límite inferior: 0^2 = 0.
- 4Resta: 9 - 0 = 9.
- 5No aparece constante, porque se cancelaría en la resta.
Geométricamente es el área de un triángulo de base 3 y altura 6, que también es 9. Los dos métodos coinciden, como no puede ser de otra manera.
Ejemplo 3
Pregunta
La velocidad de un coche es v(t) = 6t m/s. ¿Qué distancia recorre en los primeros 4 segundos?
Respuesta
48 metros
Pasos
- 1La distancia es la velocidad acumulada, así que integra v(t) entre 0 y 4.
- 2La primitiva de 6t es 3t^2.
- 3En el límite superior: 3(4)^2 = 48.
- 4En el límite inferior: 3(0)^2 = 0.
- 5Resta: 48 - 0 = 48 metros.
Errores habituales
Dejarse el más C en una integral indefinida.
Las integrales indefinidas lo llevan siempre. Es un punto en casi todos los criterios de corrección.
Escribir más C en una integral definida.
Se cancela en la resta, así que nunca aparece en una respuesta definida.
Restar los límites en el orden equivocado.
Superior menos inferior, siempre. Invertirlos cambia el signo de la respuesta.
Suponer que una integral definida es siempre el área física.
Por debajo del eje la integral contribuye en negativo. Para el área total, divide en los cortes y toma valores absolutos.
Practícalo
Resuélvelos primero tú y luego abre la respuesta. ¿Atascado a medias? Selecciona el problema y pídele a Solvecoon el paso que te falta.
1. Integra 3x^2 respecto de x.
Ver la respuesta
x^3 + C. Comprueba derivando.
2. Calcula la integral de 4x entre 1 y 2.
Ver la respuesta
6. La primitiva es 2x^2, así que 8 - 2 = 6.
3. Integra (x + 1) respecto de x.
Ver la respuesta
x^2/2 + x + C.
Lo que suele preguntarse
- ¿Una integral es solo área?
- El área es la imagen, la acumulación es el significado. Integrar una velocidad da distancia, e integrar un caudal da volumen.
- ¿Cómo compruebo una integral?
- Deriva tu respuesta. Si no recuperas la función original, la integración está mal, y esta comprobación cuesta segundos.
- ¿Por qué la constante no importa en las integrales definidas?
- Porque aparece en los dos límites y se cancela al restar, así que nunca puede afectar al número.
- ¿Una integral puede ser negativa?
- Sí, cuando la curva está por debajo del eje en ese intervalo. Es un comportamiento correcto, no un error.
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