Qu'est-ce qu'une intégrale ?
Là où une dérivée demande à quelle vitesse quelque chose change, une intégrale demande combien s'est accumulé. Géométriquement, c'est l'aire sous une courbe, et physiquement, c'est le total qu'un taux a construit.
Accumulation, pas seulement aire
Découpez la région sous une courbe en fins rectangles, additionnez leurs aires et faites tendre les tranches vers zéro. La limite de cette somme est l'intégrale. L'aire est l'image, mais l'idée est l'accumulation : si la courbe est une vitesse, l'aire est une distance.
Indéfinie ou définie
- Une intégrale indéfinie n'a pas de bornes et produit une famille de fonctions, d'où le plus C à la fin.
- Une intégrale définie a des bornes et produit un nombre unique.
- Pour une intégrale définie, évaluez la primitive à la borne supérieure et retranchez sa valeur à la borne inférieure.
Pourquoi le plus C
Dériver détruit les constantes : x^2 + 7 et x^2 - 3 se dérivent toutes deux en 2x. Inverser le processus ne permet pas de retrouver quelle constante était là, donc toute intégrale indéfinie porte une constante inconnue. Dans une intégrale définie, la constante s'annule dans la soustraction, et c'est pourquoi on ne l'y écrit jamais.
Exemples détaillés
Exemple 1
Question
Trouvez l'intégrale indéfinie de 2x par rapport à x.
Réponse
x^2 + C
Étapes
- 1Demandez-vous quelle fonction se dérive en 2x.
- 2La règle de la puissance à l'envers : augmentez l'exposant de un et divisez par le nouvel exposant.
- 32x devient 2x^2 / 2 = x^2.
- 4Ajoutez la constante d'intégration : x^2 + C.
- 5Vérifiez en dérivant : la dérivée de x^2 + C vaut 2x.
Exemple 2
Question
Calculez l'intégrale définie de 2x de 0 à 3.
Réponse
9
Étapes
- 1Trouvez d'abord la primitive : x^2.
- 2Évaluez à la borne supérieure : 3^2 = 9.
- 3Évaluez à la borne inférieure : 0^2 = 0.
- 4Soustrayez : 9 - 0 = 9.
- 5Aucune constante n'apparaît, car elle s'annulerait dans la soustraction.
Géométriquement, c'est l'aire d'un triangle de base 3 et de hauteur 6, qui vaut aussi 9. Les deux méthodes concordent, comme elles le doivent.
Exemple 3
Question
La vitesse d'une voiture est v(t) = 6t m/s. Quelle distance parcourt-elle en 4 secondes ?
Réponse
48 mètres
Étapes
- 1La distance est la vitesse accumulée, intégrez donc v(t) de 0 à 4.
- 2La primitive de 6t est 3t^2.
- 3À la borne supérieure : 3(4)^2 = 48.
- 4À la borne inférieure : 3(0)^2 = 0.
- 5Soustrayez : 48 - 0 = 48 mètres.
Erreurs fréquentes
Omettre le plus C sur une intégrale indéfinie.
Les intégrales indéfinies le portent toujours. C'est un point dans la plupart des barèmes.
Écrire plus C sur une intégrale définie.
Il s'annule dans la soustraction, il n'apparaît donc jamais dans une réponse définie.
Soustraire les bornes dans le mauvais ordre.
Supérieure moins inférieure, toujours. Les inverser change le signe de la réponse.
Croire qu'une intégrale définie est toujours l'aire physique.
Sous l'axe, l'intégrale contribue négativement. Pour l'aire totale, découpez aux points de croisement et prenez les valeurs absolues.
À toi de t'entraîner
Résous-les d'abord, puis ouvre la réponse. Bloqué à mi-chemin ? Sélectionne l'exercice et demande à Solvecoon l'étape qui te manque.
1. Intégrez 3x^2 par rapport à x.
Voir la réponse
x^3 + C. Vérifiez en dérivant.
2. Calculez l'intégrale de 4x de 1 à 2.
Voir la réponse
6. La primitive est 2x^2, donc 8 - 2 = 6.
3. Intégrez (x + 1) par rapport à x.
Voir la réponse
x^2/2 + x + C.
Les questions qu'on nous pose
- Une intégrale, est-ce seulement une aire ?
- L'aire est l'image, l'accumulation est le sens. Intégrer une vitesse donne une distance, et intégrer un débit donne un volume.
- Comment vérifier une intégrale ?
- Dérivez votre réponse. Si vous ne retrouvez pas la fonction de départ, l'intégration est fausse, et cette vérification prend quelques secondes.
- Pourquoi la constante n'importe-t-elle pas pour les intégrales définies ?
- Parce qu'elle apparaît aux deux bornes et s'annule dans la soustraction, elle ne peut donc jamais influencer le résultat.
- Une intégrale peut-elle être négative ?
- Oui, quand la courbe est sous l'axe sur cet intervalle. C'est un comportement correct, pas une erreur.
Tu en as un sous les yeux ?
Sélectionne l'exercice sur la page ou capture-le avec Cmd/Ctrl + Maj + S, et Solvecoon le déroule avec toi.
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