Qu'est-ce qu'une dérivée ?
Une dérivée mesure à quelle vitesse quelque chose change à un instant donné, plutôt qu'en moyenne sur un intervalle. Graphiquement, c'est la pente de la tangente en un point de la courbe.
De la moyenne à l'instantané
La pente entre deux points d'une courbe est un taux de variation moyen : la variation verticale sur la variation horizontale. Faites glisser le second point de plus en plus près du premier et cette moyenne s'approche d'un nombre unique. Cette limite est la dérivée, et elle décrit la courbe en exactement un point.
Notations
- f'(x) se lit f prime de x : la dérivée de la fonction f.
- dy/dx est la dérivée de y par rapport à x. C'est un symbole unique, pas une fraction.
- Les deux signifient la même chose ; les programmes préfèrent l'une ou l'autre.
La règle de la puissance
Pour f(x) = x^n, la dérivée est f'(x) = n x^(n-1). Descendez l'exposant en multiplicateur et diminuez-le de un. Presque toutes les dérivées rencontrées au début sont cette règle plus un multiplicateur constant.
Exemples détaillés
Exemple 1
Question
Trouvez la dérivée de f(x) = x^2 et évaluez-la en x = 3.
Réponse
f'(x) = 2x, donc f'(3) = 6
Étapes
- 1Appliquez la règle de la puissance avec n = 2 : descendez le 2 et ramenez l'exposant à 1.
- 2f'(x) = 2x^1 = 2x.
- 3Substituez x = 3 : f'(3) = 6.
- 4Signification : au point (3, 9) la courbe monte de 6 unités de hauteur par unité horizontale.
La dérivée est une fonction, pas un nombre. Elle donne une pente différente pour chaque x, et vous n'obtenez un nombre qu'en en substituant un.
Exemple 2
Question
Trouvez la dérivée de f(x) = 3x^4.
Réponse
f'(x) = 12x^3
Étapes
- 1Le multiplicateur constant 3 reste et multiplie le résultat.
- 2Appliquez la règle de la puissance à x^4 : cela devient 4x^3.
- 3Multipliez par le 3 de devant : 3 x 4x^3 = 12x^3.
Exemple 3
Question
La position d'un objet est s(t) = 5t^2 mètres après t secondes. Trouvez sa vitesse à t = 2.
Réponse
20 m/s
Étapes
- 1La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps.
- 2Dérivez : s'(t) = 5 x 2t = 10t.
- 3Substituez t = 2 : s'(2) = 20.
- 4Les unités viennent de la fonction de départ : mètres par seconde.
C'est pour cela que les dérivées comptent en physique. La position se dérive en vitesse, et la vitesse se dérive à son tour en accélération.
Erreurs fréquentes
Traiter la dérivée comme un nombre plutôt que comme une fonction.
f'(x) est une fonction. f'(3) est un nombre. Les questions demandent l'un ou l'autre, lisez donc attentivement.
Dériver une constante et obtenir la constante.
La dérivée de toute constante vaut zéro, parce qu'une constante ne change jamais.
Diminuer l'exposant mais oublier de le descendre en multiplicateur.
Les deux se produisent. x^5 devient 5x^4, pas x^4.
Utiliser la règle de la puissance sur quelque chose comme e^(2x).
La règle de la puissance s'applique à une variable élevée à une puissance constante. Les exponentielles et les composées ont leurs propres règles.
À toi de t'entraîner
Résous-les d'abord, puis ouvre la réponse. Bloqué à mi-chemin ? Sélectionne l'exercice et demande à Solvecoon l'étape qui te manque.
1. Dérivez f(x) = x^5.
Voir la réponse
f'(x) = 5x^4.
2. Dérivez f(x) = 7x.
Voir la réponse
f'(x) = 7. Une droite a une pente constante.
3. Dérivez f(x) = x^2 + 3x et évaluez en x = 1.
Voir la réponse
f'(x) = 2x + 3, donc f'(1) = 5.
Les questions qu'on nous pose
- Que signifie la dérivée en mots simples ?
- À quelle vitesse la sortie change quand l'entrée change, juste à cet instant. La vitesse est la dérivée de la distance, et c'est l'exemple quotidien le plus clair.
- Pourquoi faut-il des limites pour la définir ?
- Parce qu'une pente demande deux points et que nous voulons la pente en un seul. La limite est la machinerie qui donne un sens à une pente en un point.
- Que signifie une dérivée négative ?
- La fonction décroît en ce point. Plus la valeur négative est grande, plus la chute est rapide.
- Et si la dérivée vaut zéro ?
- La courbe est momentanément plate : un maximum, un minimum ou un point d'inflexion. Trouver ces points est la base des problèmes d'optimisation.
Tu en as un sous les yeux ?
Sélectionne l'exercice sur la page ou capture-le avec Cmd/Ctrl + Maj + S, et Solvecoon le déroule avec toi.
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