Pochodna a całka
To przeciwne operacje na tej samej zależności. Pochodna bierze sumę i podaje tempo; całka bierze tempo i podaje sumę. Niemal każde pomylenie ich to w istocie pytanie o to, co dostaliśmy na wejściu.
Wersja krótka
- Pochodna: szybkość zmian w chwili. Na wejściu funkcja, na wyjściu funkcja jej nachylenia.
- Całka: skumulowana suma na przedziale. Na wejściu tempo, na wyjściu nazbierana wielkość.
- Zróżniczkowanie, a potem scałkowanie wraca do punktu wyjścia, z dokładnością do stałej.
Obraz fizyczny
Położenie różniczkuje się do prędkości, a prędkość do przyspieszenia. W drugą stronę przyspieszenie całkuje się do prędkości, a prędkość do położenia. Te same trzy wielkości, czytane w przeciwnych kierunkach.
O co pyta zadanie?
- Jak szybko, w jakim tempie, nachylenie albo krańcowy: pochodna.
- Suma, pole pod, skumulowane albo zmiana netto: całka.
- Maksimum albo minimum: pochodna, bo tam nachylenie jest zerowe.
- Dane jest tempo, szukana wielkość: całka.
Rozpisane przykłady
Przykład 1
Pytanie
Zróżniczkuj x^3, a potem scałkuj wynik. Co wraca?
Odpowiedź
x^3 + C, czyli funkcja wyjściowa z dokładnością do stałej
Kroki
- 1Zróżniczkuj x^3 regułą potęgową: 3x^2.
- 2Teraz scałkuj 3x^2: zwiększ wykładnik i podziel, otrzymując 3x^3 / 3 = x^3.
- 3Dodaj stałą: x^3 + C.
- 4Podróż w obie strony zwraca funkcję wyjściową, tyle że stałej nie da się odtworzyć.
To podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego w miniaturze: obie operacje wzajemnie się znoszą.
Przykład 2
Pytanie
f(x) = x^2. Porównaj f'(2) z całką oznaczoną z f'(x) od 1 do 3.
Odpowiedź
f'(2) = 4, a całka wynosi 8
Kroki
- 1Pochodna to f'(x) = 2x, więc f'(2) = 4. To nachylenie w jednym punkcie.
- 2Całka oznaczona z 2x od 1 do 3 korzysta z funkcji pierwotnej x^2.
- 3Oblicz: 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
- 4Ta 8 to zmiana netto f między x = 1 a x = 3, a nie nachylenie.
- 5Zatem jedno jest chwilowym tempem, a drugie całkowitą zmianą. Różne pytania, różne liczby.
Przykład 3
Pytanie
Woda wpływa do zbiornika w tempie 6t litrów na minutę. Ile wpłynie w pierwsze 4 minuty i jak szybko rośnie samo tempo?
Odpowiedź
48 litrów łącznie, a tempo rośnie o 6 litrów na minutę z każdą minutą
Kroki
- 1Skumulowana suma to całka: funkcja pierwotna z 6t to 3t^2.
- 2Oblicz od 0 do 4: 3(16) - 0 = 48 litrów.
- 3To, jak szybko zmienia się samo tempo, jest pochodną: pochodna z 6t to 6.
- 4Zatem tempo rośnie o 6 litrów na minutę z każdą upływającą minutą.
- 5Ta sama funkcja, dwa różne pytania, dwie różne operacje.
Częste błędy
Całkowanie, gdy zadanie pyta, jak szybko coś się zmienia.
Pytania o tempo to pytania o pochodną. Szukaj w treści zwrotów jak szybko, na jednostkę albo nachylenie.
Różniczkowanie tempa w celu znalezienia sumy.
Sumy się kumulują, więc się je całkuje. Zróżniczkowanie tempa mówi, jak zmienia się samo tempo.
Myślenie, że te dwie operacje to niepowiązane tematy.
Są odwrotne. Sprawdzanie całki przez różniczkowanie korzysta dokładnie z tej zależności.
Oczekiwanie, że podróż w obie strony zwróci dokładnie funkcję wyjściową.
Zwraca ją z dokładnością do stałej, bo różniczkowanie wymazało każdą stałą, która tam była.
Poćwicz
Najpierw rozwiąż je sam, potem otwórz odpowiedź. Utknąłeś w połowie? Zaznacz zadanie i poproś Solvecoon o brakujący krok.
1. Dana jest funkcja prędkości, a pytanie dotyczy przebytej drogi. Która operacja?
Pokaż odpowiedź
Całkowanie. Droga kumuluje prędkość w czasie.
2. Dana jest funkcja położenia, a pytanie dotyczy szybkości w t = 5. Która operacja?
Pokaż odpowiedź
Różniczkowanie, a potem podstawienie t = 5.
3. Zróżniczkuj 4x^3, a potem scałkuj swój wynik.
Pokaż odpowiedź
Pochodna to 12x^2, a jej scałkowanie daje 4x^3 + C.
O co ludzie pytają
- Czego uczyć się najpierw?
- Pochodnych, bo całkowanie zwykle wykłada się jako ich odwrócenie, a każdą całkę można sprawdzić różniczkowaniem.
- Czy całka to tylko funkcja pierwotna?
- Całka nieoznaczona tak. Całka oznaczona to liczba, obliczona z funkcji pierwotnej przez podstawienie obu granic.
- Czym jest podstawowe twierdzenie rachunku całkowego?
- Stwierdzeniem, że te dwie operacje są odwrotne, co pozwala obliczyć pole, znajdując funkcję pierwotną, zamiast sumować prostokąty.
- Czy mogę tę samą funkcję różniczkować i całkować?
- Tak, i robienie obu rzeczy to dobry nawyk. Zróżniczkowanie własnej całki to najszybszy sposób jej sprawdzenia.
Masz jedno przed sobą?
Zaznacz zadanie na stronie albo zrób zrzut przez Cmd/Ctrl + Shift + S, a Solvecoon przejdzie je z tobą.
Dodaj do Chrome →Wypróbuj za darmo — 5 rozwiązań dziennie. Bez karty.