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Verhältnisgleichungen Schritt für Schritt lösen

Eine Verhältnisgleichung sagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind. Sobald du diese Form in einer Aufgabe erkennst, werden Rezepte umrechnen, Kartenentfernungen lesen und Grundpreise vergleichen zu derselben dreizeiligen Aufgabe.

Was eine Verhältnisgleichung wirklich ist

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen. Eine Verhältnisgleichung sagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind, geschrieben a/b = c/d. Sie zu lösen heißt, den einen fehlenden Wert zu finden, der sie gleich hält.

Die Methode

  • Schreib beide Verhältnisse als Brüche, mit derselben Art Größe oben in beiden.
  • Multipliziere über Kreuz: aus a/b = c/d wird a x d = b x c.
  • Löse die entstehende einschrittige Gleichung.
  • Prüfe, indem du den Wert einsetzt und die beiden Brüche vergleichst.

Warum die Einheiten zusammenpassen müssen

Das Einzige, was bei Verhältnisgleichungen schiefgeht, ist Tassen oben im einen Bruch und Kekse oben im anderen. Entscheide, was oben steht, schreib beide Brüche gleich, und das Kreuzmultiplizieren erledigt sich von selbst.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Frage

Löse nach x: 3/4 = x/20

Antwort

x = 15

Schritte

  1. 1Über Kreuz multiplizieren: 3 x 20 = 4 x x.
  2. 2Das ergibt 60 = 4x.
  3. 3Beide Seiten durch 4 teilen: x = 15.
  4. 4Probe: 15/20 gekürzt ist 3/4. Die beiden Verhältnisse stimmen überein.

Beispiel 2

Frage

2 Tassen Mehl ergeben 12 Kekse. Wie viel Mehl ergibt 30 Kekse?

Antwort

5 Tassen

Schritte

  1. 1Mehl in beiden Brüchen oben: 2/12 = x/30.
  2. 2Über Kreuz multiplizieren: 2 x 30 = 12 x x, also 60 = 12x.
  3. 3Durch 12 teilen: x = 5 Tassen.
  4. 4Plausibilität: 30 Kekse sind das Zweieinhalbfache von 12, und 5 ist das Zweieinhalbfache von 2.

12/2 = 30/x zu schreiben geht auch, solange in beiden Brüchen die Kekse oben stehen. Die beiden Reihenfolgen zu mischen erzeugt die falsche Antwort.

Beispiel 3

Frage

Eine Karte hat den Maßstab 1 cm zu 25 km. Wie weit sind zwei Orte voneinander entfernt, die auf der Karte 4,5 cm auseinanderliegen?

Antwort

112,5 km

Schritte

  1. 1Ansatz mit der Kartenentfernung oben: 1/25 = 4,5/x.
  2. 2Über Kreuz multiplizieren: 1 x x = 25 x 4,5.
  3. 3Also x = 112,5 km.
  4. 4Plausibilität: 4,5-mal so weit auf der Karte heißt 4,5-mal so weit in Wirklichkeit, und 4,5 x 25 = 112,5.

Typische Fehler

2/12 = 30/x schreiben, wenn im ersten Bruch Mehl oben steht und im zweiten Kekse.

Halte in beiden Brüchen dieselbe Größe oben. Beschrifte sie notfalls: Mehl/Kekse = Mehl/Kekse.

Addieren statt skalieren: 12 Kekse brauchen 2 Tassen, also brauchen 30 Kekse 2 + 18.

Verhältnisgleichungen multiplizieren. Wenn das Ergebnis 2,5-mal größer ist, ist jede Zutat 2,5-mal größer.

Über Kreuz multiplizieren und dann das Teilen vergessen, sodass 60 = 4x als Antwort stehen bleibt.

Bring die Gleichung zu Ende. Die Antwort ist der Wert von x, nicht die Zeile davor.

Einheiten mischen, etwa Minuten auf der einen und Stunden auf der anderen Seite.

Rechne vor dem Ansatz in dieselbe Einheit um, nicht danach.

Selbst üben

Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.

  • 1. Löse: 5/8 = x/24

    Antwort zeigen

    x = 15. Über Kreuz: 5 x 24 = 8x, also 120 = 8x.

  • 2. Löse: 7/x = 21/9

    Antwort zeigen

    x = 3. Über Kreuz: 7 x 9 = 21x, also 63 = 21x.

  • 3. 9 Stifte kosten 12 €. Was kosten 15 Stifte zum selben Preis?

    Antwort zeigen

    20 €. Ansatz 9/12 = 15/x, über Kreuz ergibt 9x = 180.

Was oft gefragt wird

Ist Kreuzmultiplizieren immer erlaubt?
Bei einer Verhältnisgleichung ja, solange kein Nenner null ist. Es ist nichts anderes als beide Seiten mit beiden Nennern zu multiplizieren.
Spielt es eine Rolle, welches Verhältnis ich zuerst schreibe?
Nein. a/b = c/d und c/d = a/b ergeben dieselbe Kreuzmultiplikation. Wichtig ist, dass beide Brüche gleich aufgebaut sind.
Was, wenn die Unbekannte unten steht?
Nichts ändert sich. Multipliziere wie gewohnt über Kreuz, und du landest bei der Unbekannten mal einer Zahl, die du dann wegdividierst.
Woran erkenne ich eine Verhältnisaufgabe?
An einer konstanten Rate: pro Tasse, pro Stunde, pro Zentimeter, zum selben Preis. Diese Wendung ist das Signal.
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