比例式の解き方、ステップ解説
比例式は2つの比が等しいことを表します。問題文の中にこの形を見抜けるようになれば、レシピの分量調整も、地図の距離の読み取りも、単価の比較も、すべて同じ3行の問題になります。
比例式とは何か
比は2つの量を比べたものです。比例式は2つの比が等しいことを表し、a/b = c/d と書きます。これを解くとは、両者を等しく保つただ1つの未知の値を求めることです。
手順
- 2つの比を分数で書き、両方とも同じ種類の量を分子に置く。
- たすきがけをする。a/b = c/d は a x d = b x c になる。
- できた一段階の方程式を解く。
- 求めた値を戻して、2つの分数を見比べて確かめる。
単位を揃えなければならない理由
比例式が狂う唯一の原因は、一方の分数の分子にカップを置き、もう一方の分子にクッキーを置くことです。何を分子に置くかを決め、両方の分数を同じ形で書けば、たすきがけが残りを片づけてくれます。
解いてみる例
例 1
問題
x を求めなさい: 3/4 = x/20
答え
x = 15
手順
- 1たすきがけをする: 3 x 20 = 4 x x。
- 2これで 60 = 4x となる。
- 3両辺を 4 で割る: x = 15。
- 4確認: 15/20 は約分すると 3/4。2つの比は一致する。
例 2
問題
小麦粉2カップでクッキーが12枚できます。30枚作るには小麦粉は何カップ必要ですか。
答え
5カップ
手順
- 1両方の分数で小麦粉を分子に置く: 2/12 = x/30。
- 2たすきがけ: 2 x 30 = 12 x x なので 60 = 12x。
- 312 で割る: x = 5 カップ。
- 4見当の確認: 30枚は12枚の2.5倍で、5は2の2.5倍。
12/2 = 30/x と書いても、両方の分数でクッキーが分子にあるなら問題ありません。2つの順序を混ぜることが誤答を生みます。
例 3
問題
縮尺が1 cmで25 kmの地図があります。地図上で4.5 cm離れた2つの町は実際には何km離れていますか。
答え
112.5 km
手順
- 1地図上の距離を分子にして立式する: 1/25 = 4.5/x。
- 2たすきがけ: 1 x x = 25 x 4.5。
- 3よって x = 112.5 km。
- 4見当の確認: 地図上で4.5倍遠いなら実際も4.5倍遠く、4.5 x 25 = 112.5。
よくあるつまずき
最初の分数は小麦粉が分子、2つめはクッキーが分子なのに 2/12 = 30/x と書く。
両方の分数で同じ量を分子に置く。必要ならラベルを書く: 小麦粉/クッキー = 小麦粉/クッキー。
比例させずに足し算する。クッキー12枚に2カップだから30枚には 2 + 18 だ、とする。
比例はかけ算です。出来上がりが2.5倍なら、材料もすべて2.5倍です。
たすきがけをしたあと割るのを忘れ、60 = 4x を答えにしてしまう。
方程式を最後まで解く。答えは x の値であって、その前の行ではありません。
片方が分、もう片方が時間のように単位を混ぜる。
比例式を立てる前に同じ単位に換算する。あとからではいけません。
練習する
まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。
1. 解きなさい: 5/8 = x/24
答えを見る
x = 15。たすきがけで 5 x 24 = 8x なので 120 = 8x。
2. 解きなさい: 7/x = 21/9
答えを見る
x = 3。たすきがけで 7 x 9 = 21x なので 63 = 21x。
3. ペン9本で1200円です。同じ単価ならペン15本はいくらですか。
答えを見る
2000円。9/12 = 15/x と立式し、たすきがけで 9x = 180 を得ます。
よく聞かれること
- たすきがけはいつでも使えますか。
- 比例式ならば、分母が0でない限り使えます。両辺に両方の分母をかけているだけだからです。
- どちらの比を先に書くかで違いますか。
- 違いません。a/b = c/d も c/d = a/b も同じたすきがけになります。大事なのは2つの分数を同じ作り方にすることです。
- 未知数が分母にある場合は。
- 何も変わりません。いつも通りたすきがけをすれば、未知数に数がかかった形になるので、それを割ればすみます。
- その問題が比例だとどう見分けますか。
- 一定に保たれる割合を探します。1カップあたり、1時間あたり、1センチあたり、同じ単価で、といった言い回しが合図です。
いま目の前にありますか？
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