Как решать пропорции, шаг за шагом
Пропорция утверждает, что два отношения равны. Как только вы научитесь узнавать эту форму в условии, пересчёт рецепта, чтение расстояний по карте и сравнение цен за единицу превращаются в одну и ту же задачу в три строки.
Что такое пропорция на самом деле
Отношение сравнивает две величины. Пропорция утверждает, что два отношения равны, и записывается как a/b = c/d. Решить её — значит найти единственное недостающее значение, которое сохраняет это равенство.
Метод
- Запишите оба отношения дробями, поставив в числитель одинаковую по смыслу величину.
- Перемножьте крест-накрест: a/b = c/d превращается в a x d = b x c.
- Решите полученное уравнение в один шаг.
- Проверьте: подставьте значение обратно и сравните две дроби.
Почему единицы должны совпадать
Единственное, что рушит пропорцию, — это когда в одной дроби сверху стаканы, а в другой печенья. Решите, что идёт в числитель, запишите обе дроби одинаково, и перекрёстное умножение сделает всё остальное.
Разобранные примеры
Пример 1
Вопрос
Решите относительно x: 3/4 = x/20
Ответ
x = 15
Шаги
- 1Перемножьте крест-накрест: 3 x 20 = 4 x x.
- 2Получаем 60 = 4x.
- 3Разделите обе части на 4: x = 15.
- 4Проверка: 15/20 сокращается до 3/4. Отношения совпадают.
Пример 2
Вопрос
Из 2 стаканов муки получается 12 печений. Сколько муки нужно на 30 печений?
Ответ
5 стаканов
Шаги
- 1Поставьте муку в числитель обеих дробей: 2/12 = x/30.
- 2Перемножьте крест-накрест: 2 x 30 = 12 x x, то есть 60 = 12x.
- 3Разделите на 12: x = 5 стаканов.
- 4Проверка на здравый смысл: 30 печений — это в два с половиной раза больше 12, а 5 — в два с половиной раза больше 2.
Запись 12/2 = 30/x тоже подходит, если в числителе обеих дробей стоят печенья. Именно смешение двух порядков и даёт неверный ответ.
Пример 3
Вопрос
На карте масштаб 1 см к 25 км. Каково расстояние между городами, если на карте между ними 4,5 см?
Ответ
112,5 км
Шаги
- 1Составьте пропорцию, поставив расстояние по карте в числитель: 1/25 = 4,5/x.
- 2Перемножьте крест-накрест: 1 x x = 25 x 4,5.
- 3Значит, x = 112,5 км.
- 4Проверка на здравый смысл: в 4,5 раза дальше на карте — значит в 4,5 раза дальше в реальности, а 4,5 x 25 = 112,5.
Частые ошибки
Записать 2/12 = 30/x, когда в первой дроби сверху мука, а во второй печенья.
Держите в числителе обеих дробей одну и ту же величину. При необходимости подпишите: мука/печенья = мука/печенья.
Складывать вместо пропорционального увеличения: на 12 печений нужно 2 стакана, значит на 30 нужно 2 + 18.
Пропорции умножают. Если результат больше в 2,5 раза, каждый ингредиент больше в 2,5 раза.
Перемножить крест-накрест и забыть разделить, оставив 60 = 4x как ответ.
Доведите уравнение до конца. Ответ — это значение x, а не предыдущая строка.
Смешивать единицы: с одной стороны минуты, с другой часы.
Переведите в одинаковые единицы до составления пропорции, а не после.
Потренируйтесь
Сначала решите сами, потом откройте ответ. Застряли на середине? Выделите задачу и спросите у Solvecoon недостающий шаг.
1. Решите: 5/8 = x/24
Показать ответ
x = 15. Крест-накрест: 5 x 24 = 8x, то есть 120 = 8x.
2. Решите: 7/x = 21/9
Показать ответ
x = 3. Крест-накрест: 7 x 9 = 21x, то есть 63 = 21x.
3. 9 ручек стоят 12 рублей. Сколько стоят 15 ручек по той же цене?
Показать ответ
20 рублей. Составьте 9/12 = 15/x и перемножьте крест-накрест: 9x = 180.
О чём спрашивают
- Всегда ли можно умножать крест-накрест?
- В пропорции — да, пока ни один знаменатель не равен нулю. Это просто умножение обеих частей на оба знаменателя.
- Важно ли, какое отношение записать первым?
- Нет. a/b = c/d и c/d = a/b дают одно и то же перекрёстное умножение. Важно лишь, чтобы обе дроби были построены одинаково.
- А если неизвестное в знаменателе?
- Ничего не меняется. Перемножьте крест-накрест как обычно, и вы получите неизвестное, умноженное на число, — останется разделить.
- Как понять, что задача на пропорцию?
- Ищите постоянную величину на единицу: на стакан, в час, на сантиметр, по той же цене. Такой оборот и есть сигнал.
Одна такая прямо перед вами?
Выделите задачу на странице или заснимите её через Cmd/Ctrl + Shift + S, и Solvecoon разберёт её вместе с вами.
Добавить в Chrome →Попробуйте бесплатно — 5 решений в день. Без карты.