Der Satz des Pythagoras, erklärt
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der längsten Seite gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen. Er gilt nur für rechtwinklige Dreiecke, und die längste Seite liegt immer dem rechten Winkel gegenüber.
Was die Buchstaben bedeuten
- c ist die Hypotenuse: die Seite gegenüber dem rechten Winkel, immer die längste.
- a und b sind die Katheten: die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.
- Die Beziehung ist a^2 + b^2 = c^2, und c ist nie eine der Katheten.
Stattdessen eine Kathete finden
Stell um, statt neu anzufangen. Kennst du c und eine Kathete, dann ist a^2 = c^2 - b^2. Die Subtraktion ist der ganze Unterschied, und sie in falscher Reihenfolge zu machen erzeugt ein Negatives unter der Wurzel.
Tripel, die man kennen sollte
- 3, 4, 5 und Vielfache: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
- 5, 12, 13.
- 7, 24, 25.
- 8, 15, 17.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Frage
Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von 6 cm und 8 cm. Bestimme die Hypotenuse.
Antwort
10 cm
Schritte
- 1Beide gegebenen Seiten bilden den rechten Winkel, also sind beide Katheten.
- 2Satz anwenden: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
- 3Positive Wurzel ziehen: c = 10 cm.
- 4Muster erkennen: das ist das verdoppelte 3-4-5-Tripel.
Beispiel 2
Frage
Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 13 m und eine Kathete von 5 m. Bestimme die andere Kathete.
Antwort
12 m
Schritte
- 1Die 13 ist die Hypotenuse, also c und keine Kathete.
- 2Umstellen: b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2.
- 3Das ist 169 - 25 = 144.
- 4Wurzel ziehen: b = 12 m.
- 5Probe: 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, und das ist 13^2.
Hier zu addieren statt zu subtrahieren ergibt Wurzel 194, etwa 13,9, was länger ist als die Hypotenuse. Eine Kathete länger als die Hypotenuse ist unmöglich, und das zu bemerken fängt den Fehler ab.
Beispiel 3
Frage
Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer Wand, ihr Fuß steht 1,4 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
Antwort
4,8 m
Schritte
- 1Die Leiter ist die Hypotenuse, denn sie liegt dem rechten Winkel zwischen Wand und Boden gegenüber.
- 2Also Höhe^2 = 5^2 - 1,4^2 = 25 - 1,96.
- 3Das ergibt 23,04.
- 4Wurzel ziehen: Höhe = 4,8 m.
- 5Plausibilität: die Höhe ist kleiner als die Leiterlänge, wie es sein muss.
Typische Fehler
Eine gegebene Seite als Kathete behandeln, obwohl sie die Hypotenuse ist.
Finde zuerst den rechten Winkel. Die Seite gegenüber ist c, und sie ist immer die längste.
Den Satz auf ein Dreieck ohne rechten Winkel anwenden.
Er gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Ohne einen brauchst du stattdessen den Kosinussatz.
Am Ende die Wurzel vergessen und 100 statt 10 angeben.
c^2 = 100 heißt c = 10. Die letzte Zeile ist die Wurzel, nicht das Quadrat.
Die Quadrate addieren, obwohl nach einer Kathete gefragt war.
Eine Kathete zu finden ist Subtraktion: c^2 - a^2. Kommt die Antwort länger heraus als die Hypotenuse, hast du addiert.
Selbst üben
Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.
1. Katheten 9 und 12. Bestimme die Hypotenuse.
Antwort zeigen
15. 81 + 144 = 225, und die Wurzel aus 225 ist 15.
2. Hypotenuse 17, eine Kathete 8. Bestimme die andere Kathete.
Antwort zeigen
15. 289 - 64 = 225, und die Wurzel ist 15.
3. Ist ein Dreieck mit den Seiten 7, 24 und 25 rechtwinklig?
Antwort zeigen
Ja. 49 + 576 = 625, und das ist 25^2, also gilt der Satz und der Winkel ist recht.
Was oft gefragt wird
- Gilt er für jedes Dreieck?
- Nein, nur für rechtwinklige. Für andere nimm den Kosinussatz, der bei 90 Grad zum Satz des Pythagoras wird.
- Woran erkenne ich, welche Seite die Hypotenuse ist?
- Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist außerdem immer die längste Seite, was eine schnelle Plausibilitätsprüfung für jede Antwort ist.
- Kann ich damit prüfen, ob ein Winkel recht ist?
- Ja. Ist a^2 + b^2 gleich c^2, ist der Winkel recht; ist die Summe größer, ist er spitz; ist sie kleiner, ist er stumpf.
- Gilt er auch in drei Dimensionen?
- Ja, zweimal angewandt. Bestimme zuerst die Diagonale der Grundfläche und behandle sie dann mit der Höhe als Kathete, um die Raumdiagonale zu erhalten.
Hast du gerade eine vor dir?
Markier die Aufgabe auf der Seite oder schnapp sie mit Cmd/Strg + Umschalt + S, und Solvecoon geht sie mit dir durch.
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