Теорема Пифагора, объяснение
В любом прямоугольном треугольнике квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других. Это работает только для прямоугольных треугольников, а наибольшая сторона всегда лежит против прямого угла.
Что означают буквы
- c — гипотенуза: сторона против прямого угла, всегда наибольшая.
- a и b — катеты: две стороны, образующие прямой угол.
- Соотношение таково: a^2 + b^2 = c^2, и c никогда не бывает катетом.
Как найти катет
Преобразуйте формулу, а не начинайте заново. Если известны c и один катет, то a^2 = c^2 - b^2. Вся разница в вычитании, и если сделать его в обратном порядке, под корнем окажется отрицательное число.
Тройки, которые стоит узнавать
- 3, 4, 5 и кратные ей: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
- 5, 12, 13.
- 7, 24, 25.
- 8, 15, 17.
Разобранные примеры
Пример 1
Вопрос
У прямоугольного треугольника катеты 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу.
Ответ
10 см
Шаги
- 1Обе данные стороны образуют прямой угол, значит обе — катеты.
- 2Применяем теорему: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
- 3Берём положительный квадратный корень: c = 10 см.
- 4Узнаём шаблон: это удвоенная тройка 3-4-5.
Пример 2
Вопрос
У прямоугольного треугольника гипотенуза 13 м и один катет 5 м. Найдите второй катет.
Ответ
12 м
Шаги
- 113 — это гипотенуза, то есть c, а не катет.
- 2Преобразуем: b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2.
- 3Это 169 - 25 = 144.
- 4Берём корень: b = 12 м.
- 5Проверка: 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, а это 13^2.
Сложение вместо вычитания даст здесь корень из 194, около 13,9, что длиннее гипотенузы. Катет длиннее гипотенузы невозможен, и это замечание ловит ошибку.
Пример 3
Вопрос
Лестница длиной 5 м приставлена к стене, её основание в 1,4 м от стены. На какую высоту она достаёт?
Ответ
4,8 м
Шаги
- 1Лестница — гипотенуза, потому что лежит против прямого угла между стеной и полом.
- 2Значит, высота^2 = 5^2 - 1,4^2 = 25 - 1,96.
- 3Получаем 23,04.
- 4Берём корень: высота = 4,8 м.
- 5Проверка на здравый смысл: высота меньше длины лестницы, как и должно быть.
Частые ошибки
Принять данную сторону за катет, когда на деле это гипотенуза.
Сначала найдите прямой угол. Сторона против него — это c, и она всегда наибольшая.
Применить теорему к треугольнику без прямого угла.
Она справедлива только для прямоугольных треугольников. Без прямого угла нужна теорема косинусов.
Забыть про корень в конце и записать 100 вместо 10.
c^2 = 100 значит c = 10. Последняя строка — корень, а не квадрат.
Сложить квадраты, когда просили найти катет.
Поиск катета — это вычитание: c^2 - a^2. Если ответ вышел длиннее гипотенузы, вы сложили.
Потренируйтесь
Сначала решите сами, потом откройте ответ. Застряли на середине? Выделите задачу и спросите у Solvecoon недостающий шаг.
1. Катеты 9 и 12. Найдите гипотенузу.
Показать ответ
15. 81 + 144 = 225, а корень из 225 равен 15.
2. Гипотенуза 17, один катет 8. Найдите второй катет.
Показать ответ
15. 289 - 64 = 225, а корень равен 15.
3. Является ли треугольник со сторонами 7, 24 и 25 прямоугольным?
Показать ответ
Да. 49 + 576 = 625, а это 25^2, значит теорема выполняется и угол прямой.
О чём спрашивают
- Работает ли она для любого треугольника?
- Нет, только для прямоугольных. Для остальных нужна теорема косинусов, которая при угле в 90 градусов сводится к теореме Пифагора.
- Как понять, какая сторона гипотенуза?
- Она лежит против прямого угла. Она же всегда наибольшая сторона, что даёт быструю проверку любого ответа.
- Можно ли ею проверить, прямой ли угол?
- Можно. Если a^2 + b^2 равно c^2, угол прямой; если сумма больше, угол острый; если меньше — тупой.
- Работает ли она в трёх измерениях?
- Да, если применить дважды. Сначала найдите диагональ основания, затем рассматривайте её как катет вместе с высотой, чтобы получить пространственную диагональ.
Одна такая прямо перед вами?
Выделите задачу на странице или заснимите её через Cmd/Ctrl + Shift + S, и Solvecoon разберёт её вместе с вами.
Добавить в Chrome →Попробуйте бесплатно — 5 решений в день. Без карты.