Il teorema di Pitagora, spiegato
In ogni triangolo rettangolo il quadrato del lato più lungo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Vale solo per i triangoli rettangoli, e il lato più lungo è sempre quello opposto all'angolo retto.
Cosa significano le lettere
- c è l'ipotenusa: il lato opposto all'angolo retto, sempre il più lungo.
- a e b sono i cateti: i due lati che formano l'angolo retto.
- La relazione è a^2 + b^2 = c^2, e c non è mai uno dei cateti.
Trovare invece un cateto
Ricava la formula invece di ricominciare da capo. Se conosci c e un cateto, allora a^2 = c^2 - b^2. La sottrazione è tutta la differenza, e farla nell'ordine sbagliato è ciò che produce un negativo sotto radice.
Terne da riconoscere
- 3, 4, 5 e i suoi multipli: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
- 5, 12, 13.
- 7, 24, 25.
- 8, 15, 17.
Esempi svolti
Esempio 1
Domanda
Un triangolo rettangolo ha cateti di 6 cm e 8 cm. Trova l'ipotenusa.
Risposta
10 cm
Passaggi
- 1Entrambi i lati dati formano l'angolo retto, quindi sono entrambi cateti.
- 2Applica il teorema: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
- 3Prendi la radice quadrata positiva: c = 10 cm.
- 4Riconosci lo schema: è la terna 3-4-5 raddoppiata.
Esempio 2
Domanda
Un triangolo rettangolo ha un'ipotenusa di 13 m e un cateto di 5 m. Trova l'altro cateto.
Risposta
12 m
Passaggi
- 1Il 13 è l'ipotenusa, quindi è c, non un cateto.
- 2Ricava: b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2.
- 3Cioè 169 - 25 = 144.
- 4Prendi la radice: b = 12 m.
- 5Verifica: 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, che è 13^2.
Sommare invece di sottrarre dà qui radice di 194, circa 13,9, che è più lungo dell'ipotenusa. Un cateto più lungo dell'ipotenusa è impossibile, e accorgersene intercetta l'errore.
Esempio 3
Domanda
Una scala di 5 m è appoggiata a un muro con la base a 1,4 m dal muro. A che altezza arriva?
Risposta
4,8 m
Passaggi
- 1La scala è l'ipotenusa perché è opposta all'angolo retto tra muro e pavimento.
- 2Quindi altezza^2 = 5^2 - 1,4^2 = 25 - 1,96.
- 3Questo dà 23,04.
- 4Prendi la radice: altezza = 4,8 m.
- 5Controllo di buon senso: l'altezza è minore della lunghezza della scala, come dev'essere.
Errori comuni
Trattare un lato dato come cateto quando in realtà è l'ipotenusa.
Individua prima l'angolo retto. Il lato opposto è c, ed è sempre il più lungo.
Usare il teorema su un triangolo senza angolo retto.
Vale solo per i triangoli rettangoli. Senza angolo retto serve il teorema del coseno.
Dimenticare la radice quadrata finale e dare 100 invece di 10.
c^2 = 100 significa c = 10. L'ultima riga è la radice, non il quadrato.
Sommare i quadrati quando ti chiedevano un cateto.
Trovare un cateto è sottrarre: c^2 - a^2. Se la risposta viene più lunga dell'ipotenusa, hai sommato.
Mettiti alla prova
Risolvili prima tu, poi apri la risposta. Bloccato a metà? Seleziona il problema e chiedi a Solvecoon il passaggio che ti manca.
1. Cateti di 9 e 12. Trova l'ipotenusa.
Mostra la risposta
15. 81 + 144 = 225, e la radice di 225 è 15.
2. Ipotenusa 17, un cateto 8. Trova l'altro cateto.
Mostra la risposta
15. 289 - 64 = 225, e la radice è 15.
3. Un triangolo con lati 7, 24 e 25 è rettangolo?
Mostra la risposta
Sì. 49 + 576 = 625, che è 25^2, quindi il teorema vale e l'angolo è retto.
Le domande che ci fanno
- Vale per qualsiasi triangolo?
- No, solo per i triangoli rettangoli. Per gli altri usa il teorema del coseno, che si riduce a Pitagora quando l'angolo è di 90 gradi.
- Come faccio a sapere qual è l'ipotenusa?
- È quella opposta all'angolo retto. È anche sempre il lato più lungo, il che è un controllo rapido su qualsiasi risposta.
- Posso usarlo per verificare se un angolo è retto?
- Sì. Se a^2 + b^2 è uguale a c^2 l'angolo è retto, se la somma è maggiore l'angolo è acuto, e se è minore è ottuso.
- Funziona in tre dimensioni?
- Sì, applicandolo due volte. Trova prima la diagonale della base, poi trattala come un cateto insieme all'altezza per arrivare alla diagonale dello spazio.
Ne hai uno davanti?
Seleziona il problema sulla pagina o catturalo con Cmd/Ctrl + Maiusc + S, e Solvecoon lo svolge con te.
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