O teorema de Pitágoras, explicado
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do maior lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois. Só vale para triângulos retângulos, e o maior lado é sempre o oposto ao ângulo reto.
O que cada letra significa
- c é a hipotenusa: o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior.
- a e b são os catetos: os dois lados que formam o ângulo reto.
- A relação é a^2 + b^2 = c^2, e c nunca é um dos catetos.
Achar um cateto em vez disso
Isole em vez de começar do zero. Se você conhece c e um cateto, então a^2 = c^2 - b^2. A subtração é toda a diferença, e fazê-la na ordem errada é o que produz um negativo dentro da raiz.
Ternos que vale reconhecer
- 3, 4, 5 e seus múltiplos: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
- 5, 12, 13.
- 7, 24, 25.
- 8, 15, 17.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Questão
Um triângulo retângulo tem catetos de 6 cm e 8 cm. Ache a hipotenusa.
Resposta
10 cm
Passos
- 1Os dois lados dados formam o ângulo reto, então os dois são catetos.
- 2Aplique o teorema: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
- 3Extraia a raiz quadrada positiva: c = 10 cm.
- 4Reconheça o padrão: é o terno 3-4-5 dobrado.
Exemplo 2
Questão
Um triângulo retângulo tem hipotenusa de 13 m e um cateto de 5 m. Ache o outro cateto.
Resposta
12 m
Passos
- 1O 13 é a hipotenusa, então é c, não um cateto.
- 2Isole: b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2.
- 3Isso é 169 - 25 = 144.
- 4Extraia a raiz: b = 12 m.
- 5Conferindo: 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, que é 13^2.
Somar em vez de subtrair aqui dá raiz de 194, cerca de 13,9, que é maior que a hipotenusa. Um cateto maior que a hipotenusa é impossível, e notar isso pega o erro.
Exemplo 3
Questão
Uma escada de 5 m se apoia numa parede com a base a 1,4 m dela. Que altura ela alcança?
Resposta
4,8 m
Passos
- 1A escada é a hipotenusa porque é oposta ao ângulo reto entre parede e chão.
- 2Então altura^2 = 5^2 - 1,4^2 = 25 - 1,96.
- 3Isso dá 23,04.
- 4Extraia a raiz: altura = 4,8 m.
- 5Confira o bom senso: a altura é menor que o comprimento da escada, como tem que ser.
Erros comuns
Tratar um lado dado como cateto quando na verdade é a hipotenusa.
Ache o ângulo reto primeiro. O lado oposto a ele é c, e é sempre o maior.
Usar o teorema num triângulo sem ângulo reto.
Só se aplica a triângulos retângulos. Sem um, você precisa da lei dos cossenos.
Esquecer a raiz quadrada no fim e responder 100 em vez de 10.
c^2 = 100 significa c = 10. A última linha é a raiz, não o quadrado.
Somar os quadrados quando pediram um cateto.
Achar um cateto é subtração: c^2 - a^2. Se a resposta sair maior que a hipotenusa, você somou.
Pratique
Resolva primeiro, depois abra a resposta. Travou no meio? Selecione o problema e peça ao Solvecoon o passo que está faltando.
1. Catetos de 9 e 12. Ache a hipotenusa.
Ver a resposta
15. 81 + 144 = 225, e a raiz de 225 é 15.
2. Hipotenusa 17, um cateto 8. Ache o outro cateto.
Ver a resposta
15. 289 - 64 = 225, e a raiz é 15.
3. Um triângulo de lados 7, 24 e 25 é retângulo?
Ver a resposta
Sim. 49 + 576 = 625, que é 25^2, então o teorema vale e o ângulo é reto.
O que as pessoas perguntam
- Funciona para qualquer triângulo?
- Não, só para retângulos. Para os outros, use a lei dos cossenos, que se reduz a Pitágoras quando o ângulo é de 90 graus.
- Como sei qual lado é a hipotenusa?
- É o oposto ao ângulo reto. Também é sempre o maior lado, o que serve de conferência rápida de qualquer resposta.
- Posso usar para testar se um ângulo é reto?
- Pode. Se a^2 + b^2 é igual a c^2 o ângulo é reto, se a soma for maior o ângulo é agudo, e se for menor é obtuso.
- Funciona em três dimensões?
- Sim, aplicado duas vezes. Ache primeiro a diagonal da base, depois trate-a como cateto junto com a altura para chegar à diagonal do sólido.
Está com um na sua frente?
Selecione o problema na página ou capture com Cmd/Ctrl + Shift + S, e o Solvecoon resolve junto com você.
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