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三平方の定理、解説

どんな直角三角形でも、いちばん長い辺の上の正方形は、他の2辺の上の正方形の和に等しくなります。直角三角形にしか使えず、いちばん長い辺は必ず直角の向かいにある辺です。

各文字の意味

  • c は斜辺: 直角の向かいにある辺で、必ずいちばん長い。
  • a と b は直角をはさむ2辺。
  • 関係は a^2 + b^2 = c^2 であり、c が直角をはさむ辺になることはありません。

斜辺ではないほうの辺を求める

一から立て直さず、式を変形します。c と1辺がわかっていれば a^2 = c^2 - b^2 です。引き算になることがすべての違いで、順序を逆にすると根号の中が負になります。

覚えておきたい組

  • 3, 4, 5 とその倍数: 6-8-10、9-12-15、30-40-50。
  • 5, 12, 13。
  • 7, 24, 25。
  • 8, 15, 17。

解いてみる例

例 1

問題

直角三角形の直角をはさむ2辺が6 cmと8 cmです。斜辺を求めなさい。

答え

10 cm

手順

  1. 1与えられた2辺が直角を作っているので、どちらも直角をはさむ辺。
  2. 2定理を使う: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100。
  3. 3正の平方根をとる: c = 10 cm。
  4. 4形に気づく: これは 3-4-5 の組を2倍したものです。

例 2

問題

直角三角形の斜辺が13 m、1辺が5 mです。もう1辺を求めなさい。

答え

12 m

手順

  1. 113 は斜辺なので c であって、直角をはさむ辺ではない。
  2. 2変形する: b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2。
  3. 3つまり 169 - 25 = 144。
  4. 4平方根をとる: b = 12 m。
  5. 5確認: 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 で、これは 13^2。

ここで引かずに足すとルート194、約13.9になり、斜辺より長くなってしまいます。斜辺より長い辺はありえないので、そこに気づけば間違いを捕まえられます。

例 3

問題

5 mのはしごを壁に立てかけ、その脚が壁から1.4 m離れています。はしごは何mの高さまで届きますか。

答え

4.8 m

手順

  1. 1はしごは壁と床がなす直角の向かいにあるので斜辺です。
  2. 2よって 高さ^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96。
  3. 3これは 23.04。
  4. 4平方根をとる: 高さ = 4.8 m。
  5. 5見当の確認: 高さははしごの長さより短く、そうあるべきです。

よくあるつまずき

実際には斜辺である辺を、直角をはさむ辺として扱う。

まず直角を見つけます。その向かいの辺が c で、必ずいちばん長い辺です。

直角のない三角形に定理を使う。

直角三角形にしか使えません。直角がなければ余弦定理が必要です。

最後の平方根を忘れて10ではなく100と答える。

c^2 = 100 は c = 10 という意味です。最後の行は平方根であって2乗ではありません。

斜辺以外の辺を聞かれているのに2乗どうしを足す。

その辺を求めるのは引き算 c^2 - a^2 です。答えが斜辺より長くなったら足してしまっています。

練習する

まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。

  • 1. 直角をはさむ2辺が9と12。斜辺を求めなさい。

    答えを見る

    15。81 + 144 = 225 で、225 の平方根は15。

  • 2. 斜辺17、1辺8。もう1辺を求めなさい。

    答えを見る

    15。289 - 64 = 225 で、平方根は15。

  • 3. 辺が7、24、25の三角形は直角三角形ですか。

    答えを見る

    はい。49 + 576 = 625 で、これは 25^2 なので定理が成り立ち、角は直角です。

よく聞かれること

どんな三角形でも使えますか。
いいえ、直角三角形だけです。ほかは余弦定理を使います。角が90度のとき余弦定理は三平方の定理に一致します。
どの辺が斜辺かどう見分けますか。
直角の向かいの辺です。必ずいちばん長い辺でもあるので、答えの手早い確認にも使えます。
角が直角かどうかの判定に使えますか。
使えます。a^2 + b^2 が c^2 に等しければ直角、和のほうが大きければ鋭角、小さければ鈍角です。
3次元でも使えますか。
はい、2回使います。まず底面の対角線を求め、それを1辺とみなして高さと組み合わせ、空間の対角線を求めます。
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