三角形の面積の求め方
底辺かける高さ割る2は、選んだ底辺に垂直な高さを使う限り、出会うほとんどの三角形に通用します。ほかの2つの方法は、その垂直な高さが与えられていないときのためにあります。
基本の公式
面積 = (1/2) x 底辺 x 高さ。ここで高さは、底辺から向かい合う頂点までの垂直な距離です。使う高さがその辺に垂直に測られている限り、3辺のどれを底辺にしてもかまいません。
直角三角形はもっと簡単
直角三角形では直角をはさむ2辺がすでに互いに垂直なので、一方が底辺、もう一方が高さになります。余計な作図はいらず、斜辺は面積の公式には決して使いません。
2辺とその間の角がわかっているとき
- 面積 = (1/2) x a x b x sin C。ここで C は辺 a と b の間の角。
- 角は2辺の間の角でなければならず、ほかの角ではいけません。
- 垂直な高さが与えられていないときに使うのがこの形です。
解いてみる例
例 1
問題
底辺12 cm、垂直な高さ5 cmの三角形の面積を求めなさい。
答え
30 cm2
手順
- 1面積 = (1/2) x 底辺 x 高さ を使う。
- 2代入: (1/2) x 12 x 5。
- 3(1/2) x 12 = 6、6 x 5 = 30。
- 4面積 = 30 cm2。長さを2つかけたので単位は2乗になります。
例 2
問題
直角をはさむ2辺が7 cmと24 cm、斜辺が25 cmの直角三角形の面積を求めなさい。
答え
84 cm2
手順
- 1直角をはさむ2辺は互いに垂直なので、底辺と高さの役目を果たします。
- 2面積 = (1/2) x 7 x 24。
- 37 x 24 = 168。
- 4168 の半分は84なので、面積は 84 cm2。
25 はひっかけです。斜辺に対応する垂直な高さがないのに斜辺を底辺として使うのが、この問題の定番の罠です。
例 3
問題
2辺が8 cmと10 cmで、その間の角が30度です。面積を求めなさい。
答え
20 cm2
手順
- 1垂直な高さが与えられていないので 面積 = (1/2) x a x b x sin C を使う。
- 2ここで a = 8、b = 10、C = 30度、これが2辺の間の角。
- 3sin 30度 = 0.5。
- 4代入: (1/2) x 8 x 10 x 0.5。
- 5(1/2) x 80 = 40、40 x 0.5 = 20 cm2。
よくあるつまずき
斜めの辺を高さとして使う。
高さは底辺に垂直でなければなりません。斜めの辺は垂直な高さより長く、面積を水増しします。
2分の1を忘れて底辺かける高さと答える。
三角形はそれを囲む長方形の半分です。半分を落とすとすべての答えが2倍になります。
対応する高さもないのに、直角三角形で斜辺を底辺として使う。
直角をはさむ2辺を使います。すでに垂直で、公式が求めているのはまさにそれです。
答えを cm2 ではなく cm で書く。
面積の単位は必ず2乗です。計算そのものより、これで点を落とすほうが多いくらいです。
練習する
まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。
1. 底辺9 cm、垂直な高さ6 cm。面積を求めなさい。
答えを見る
27 cm2。9 x 6 = 54 の半分。
2. 面積 48 cm2、底辺16 cmの三角形。高さを求めなさい。
答えを見る
6 cm。48 = (1/2)(16)h より 48 = 8h。
3. 辺が5、12、13の直角三角形。面積を求めなさい。
答えを見る
30。直角をはさむ辺は5と12なので、面積は60の半分。
よく聞かれること
- どの辺を底辺に選ぶべきですか。
- 垂直な高さが実際にわかっているほうです。どの辺を選んでも面積は同じになります。
- 3辺しかわからないときは。
- ヘロンの公式を使います。3辺の長さと半周長だけで求められ、高さは要りません。
- 正弦の公式にはラジアンが必要ですか。
- 電卓がラジアンモードのときだけです。答えを信じる前にモードを確認しましょう。モードを間違えると、もっともらしいのに誤った数が出ます。
- なぜ面積は底辺かける高さの半分なのですか。
- 同じ三角形を2つ組み合わせると、同じ底辺と高さの平行四辺形になり、平行四辺形の面積は底辺かける高さだからです。
いま目の前にありますか？
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