Como calcular a área de um triângulo
Base vezes altura a dividir por dois cobre quase todos os triângulos que vai encontrar, desde que use uma altura perpendicular à base escolhida. Os outros dois métodos existem para quando essa altura perpendicular não é dada.
A fórmula padrão
Área = (1/2) x base x altura, em que a altura é a distância perpendicular da base ao vértice oposto. Qualquer um dos três lados pode ser a base, desde que a altura usada seja medida perpendicularmente a esse lado.
Os triângulos rectângulos são mais fáceis
Num triângulo rectângulo os dois catetos já são perpendiculares entre si, portanto um é a base e o outro é a altura. Não é precisa qualquer construção extra, e a hipotenusa nunca entra na fórmula da área.
Quando tem dois lados e o ângulo entre eles
- Área = (1/2) x a x b x sen C, em que C é o ângulo entre os lados a e b.
- O ângulo tem de ser o que fica entre os dois lados, e não outro qualquer.
- É esta a versão a usar quando nenhuma altura perpendicular é dada.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Pergunta
Um triângulo tem base de 12 cm e altura perpendicular de 5 cm. Determine a área.
Resposta
30 cm quadrados
Passos
- 1Use área = (1/2) x base x altura.
- 2Substitua: (1/2) x 12 x 5.
- 3(1/2) x 12 = 6, e 6 x 5 = 30.
- 4Área = 30 cm quadrados. As unidades vêm ao quadrado porque se multiplicaram dois comprimentos.
Exemplo 2
Pergunta
Um triângulo rectângulo tem catetos de 7 cm e 24 cm e hipotenusa de 25 cm. Determine a área.
Resposta
84 cm quadrados
Passos
- 1Os dois catetos são perpendiculares entre si, logo servem de base e altura.
- 2Área = (1/2) x 7 x 24.
- 37 x 24 = 168.
- 4Metade de 168 é 84, portanto a área é 84 cm quadrados.
O 25 é uma distracção. Usar a hipotenusa como base sem a respectiva altura perpendicular é a armadilha clássica desta pergunta.
Exemplo 3
Pergunta
Dois lados medem 8 cm e 10 cm, com um ângulo de 30 graus entre eles. Determine a área.
Resposta
20 cm quadrados
Passos
- 1Não é dada nenhuma altura perpendicular, logo use área = (1/2) x a x b x sen C.
- 2Aqui a = 8, b = 10 e C = 30 graus, o ângulo entre eles.
- 3sen 30 graus = 0,5.
- 4Substitua: (1/2) x 8 x 10 x 0,5.
- 5(1/2) x 80 = 40, e 40 x 0,5 = 20 cm quadrados.
Erros comuns
Usar um lado oblíquo como altura.
A altura tem de ser perpendicular à base. Um lado oblíquo é maior do que a altura perpendicular e inflaciona a área.
Esquecer a metade e apresentar base vezes altura.
Um triângulo é metade do rectângulo que o envolve. Saltar a metade duplica todas as respostas.
Usar a hipotenusa como base num triângulo rectângulo sem a respectiva altura.
Use os dois catetos. Já são perpendiculares, que é exactamente o que a fórmula pede.
Apresentar a resposta em cm em vez de cm quadrados.
A área vem sempre em unidades quadradas. Perde-se mais cotação nisto do que nas contas.
Pratica
Resolve-os primeiro e só depois abres a resposta. Empancaste a meio? Seleciona o problema e pede ao Solvecoon o passo que te falta.
1. Base 9 cm, altura perpendicular 6 cm. Determine a área.
Ver a resposta
27 cm quadrados. Metade de 9 x 6 = 54.
2. Um triângulo tem área 48 cm quadrados e base 16 cm. Determine a altura.
Ver a resposta
6 cm. De 48 = (1/2)(16)h, logo 48 = 8h.
3. Um triângulo rectângulo tem lados 5, 12 e 13. Determine a área.
Ver a resposta
30. Os catetos são 5 e 12, logo a área é metade de 60.
O que as pessoas perguntam
- Que lado devo escolher como base?
- Aquele para o qual conhece realmente uma altura perpendicular. A área dá o mesmo para as três escolhas.
- E se souber apenas os três lados?
- Use a fórmula de Heron, que trabalha com os três comprimentos e o semiperímetro sem precisar de altura.
- A fórmula do seno precisa de radianos?
- Só se a calculadora estiver em modo radianos. Verifique o modo antes de confiar na resposta, porque o modo errado dá um número plausível mas errado.
- Porque é que a área é metade da base vezes a altura?
- Porque duas cópias de um triângulo encaixam num paralelogramo com a mesma base e a mesma altura, e a área do paralelogramo é base vezes altura.
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