Jak obliczyć pole trójkąta
Połowa podstawy razy wysokość obejmuje niemal każdy trójkąt, jaki spotkasz, o ile użyjesz wysokości prostopadłej do wybranej podstawy. Pozostałe dwie metody istnieją na wypadek, gdy tej prostopadłej wysokości nie podano.
Wzór podstawowy
Pole = (1/2) x podstawa x wysokość, gdzie wysokość to prostopadła odległość od podstawy do przeciwległego wierzchołka. Podstawą może być którykolwiek z trzech boków, o ile użyta wysokość jest mierzona prostopadle do tego boku.
Trójkąty prostokątne są łatwiejsze
W trójkącie prostokątnym obie przyprostokątne są już do siebie prostopadłe, więc jedna jest podstawą, a druga wysokością. Nie trzeba żadnej dodatkowej konstrukcji, a przeciwprostokątna nigdy nie pojawia się we wzorze na pole.
Gdy masz dwa boki i kąt między nimi
- Pole = (1/2) x a x b x sin C, gdzie C to kąt między bokami a i b.
- Kąt musi być tym zawartym między dwoma bokami, nie żadnym innym.
- Tej wersji używa się, gdy nie podano żadnej prostopadłej wysokości.
Rozpisane przykłady
Przykład 1
Pytanie
Trójkąt ma podstawę 12 cm i prostopadłą wysokość 5 cm. Znajdź jego pole.
Odpowiedź
30 cm kwadratowych
Kroki
- 1Użyj pole = (1/2) x podstawa x wysokość.
- 2Podstaw: (1/2) x 12 x 5.
- 3(1/2) x 12 = 6, a 6 x 5 = 30.
- 4Pole = 30 cm kwadratowych. Jednostki są kwadratowe, bo pomnożono dwie długości.
Przykład 2
Pytanie
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 7 cm i 24 cm oraz przeciwprostokątną 25 cm. Znajdź jego pole.
Odpowiedź
84 cm kwadratowe
Kroki
- 1Obie przyprostokątne są do siebie prostopadłe, więc pełnią rolę podstawy i wysokości.
- 2Pole = (1/2) x 7 x 24.
- 37 x 24 = 168.
- 4Połowa ze 168 to 84, więc pole wynosi 84 cm kwadratowe.
25 to element rozpraszający. Użycie przeciwprostokątnej jako podstawy bez odpowiadającej jej wysokości to klasyczna pułapka tego zadania.
Przykład 3
Pytanie
Dwa boki mają 8 cm i 10 cm, a kąt między nimi wynosi 30 stopni. Znajdź pole.
Odpowiedź
20 cm kwadratowych
Kroki
- 1Nie podano żadnej prostopadłej wysokości, więc użyj pole = (1/2) x a x b x sin C.
- 2Tutaj a = 8, b = 10, a C = 30 stopni, czyli kąt między nimi.
- 3sin 30 stopni = 0,5.
- 4Podstaw: (1/2) x 8 x 10 x 0,5.
- 5(1/2) x 80 = 40, a 40 x 0,5 = 20 cm kwadratowych.
Częste błędy
Użycie boku ukośnego jako wysokości.
Wysokość musi być prostopadła do podstawy. Bok ukośny jest dłuższy od prostopadłej wysokości i zawyża pole.
Zapomnienie o połowie i podanie podstawy razy wysokość.
Trójkąt to połowa otaczającego go prostokąta. Pominięcie połowy podwaja każdy wynik.
Użycie przeciwprostokątnej jako podstawy w trójkącie prostokątnym bez odpowiadającej jej wysokości.
Użyj obu przyprostokątnych. Są już prostopadłe, a wzór potrzebuje właśnie tego.
Podanie wyniku w cm zamiast w cm kwadratowych.
Pole zawsze podaje się w jednostkach kwadratowych. Punkty przepadają na tym częściej niż na rachunkach.
Poćwicz
Najpierw rozwiąż je sam, potem otwórz odpowiedź. Utknąłeś w połowie? Zaznacz zadanie i poproś Solvecoon o brakujący krok.
1. Podstawa 9 cm, prostopadła wysokość 6 cm. Znajdź pole.
Pokaż odpowiedź
27 cm kwadratowych. Połowa z 9 x 6 = 54.
2. Trójkąt ma pole 48 cm kwadratowych i podstawę 16 cm. Znajdź jego wysokość.
Pokaż odpowiedź
6 cm. Z 48 = (1/2)(16)h, czyli 48 = 8h.
3. Trójkąt prostokątny ma boki 5, 12 i 13. Znajdź jego pole.
Pokaż odpowiedź
30. Przyprostokątne to 5 i 12, więc pole to połowa z 60.
O co ludzie pytają
- Który bok wybrać jako podstawę?
- Ten, dla którego rzeczywiście znasz prostopadłą wysokość. Pole wychodzi takie samo dla wszystkich trzech możliwości.
- A jeśli znam tylko trzy boki?
- Użyj wzoru Herona, który korzysta z trzech długości boków i połowy obwodu, bez potrzeby znania wysokości.
- Czy wzór z sinusem wymaga radianów?
- Tylko jeśli kalkulator jest w trybie radianów. Sprawdź tryb, zanim zaufasz wynikowi, bo zły tryb daje wiarygodnie wyglądającą, ale błędną liczbę.
- Dlaczego pole to połowa podstawy razy wysokość?
- Bo dwie kopie trójkąta składają się w równoległobok o tej samej podstawie i wysokości, a pole równoległoboku to podstawa razy wysokość.
Masz jedno przed sobą?
Zaznacz zadanie na stronie albo zrób zrzut przez Cmd/Ctrl + Shift + S, a Solvecoon przejdzie je z tobą.
Dodaj do Chrome →Wypróbuj za darmo — 5 rozwiązań dziennie. Bez karty.