Comment calculer l'aire d'un triangle
Base fois hauteur divisé par deux couvre presque tous les triangles que vous rencontrerez, à condition d'utiliser une hauteur perpendiculaire à la base choisie. Les deux autres méthodes existent pour les cas où cette hauteur n'est pas donnée.
La formule standard
Aire = (1/2) x base x hauteur, où la hauteur est la distance perpendiculaire de la base au sommet opposé. N'importe lequel des trois côtés peut servir de base, à condition que la hauteur utilisée soit mesurée perpendiculairement à ce côté.
Les triangles rectangles sont plus faciles
Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont déjà perpendiculaires : l'un sert de base, l'autre de hauteur. Aucune construction supplémentaire n'est nécessaire, et l'hypoténuse n'intervient jamais dans la formule de l'aire.
Quand vous avez deux côtés et l'angle entre eux
- Aire = (1/2) x a x b x sin C, où C est l'angle entre les côtés a et b.
- L'angle doit être celui compris entre les deux côtés, pas un autre.
- C'est la version à utiliser quand aucune hauteur perpendiculaire n'est donnée.
Exemples détaillés
Exemple 1
Question
Un triangle a une base de 12 cm et une hauteur perpendiculaire de 5 cm. Trouvez son aire.
Réponse
30 cm carrés
Étapes
- 1Utilisez aire = (1/2) x base x hauteur.
- 2Substituez : (1/2) x 12 x 5.
- 3(1/2) x 12 = 6, et 6 x 5 = 30.
- 4Aire = 30 cm carrés. Les unités sont au carré parce que deux longueurs ont été multipliées.
Exemple 2
Question
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 7 cm et 24 cm et une hypoténuse de 25 cm. Trouvez son aire.
Réponse
84 cm carrés
Étapes
- 1Les deux petits côtés sont perpendiculaires entre eux, ils servent donc de base et de hauteur.
- 2Aire = (1/2) x 7 x 24.
- 37 x 24 = 168.
- 4La moitié de 168 vaut 84, donc l'aire est de 84 cm carrés.
Le 25 est un piège. Utiliser l'hypoténuse comme base sans sa propre hauteur perpendiculaire est le traquenard classique de cette question.
Exemple 3
Question
Deux côtés mesurent 8 cm et 10 cm avec un angle de 30 degrés entre eux. Trouvez l'aire.
Réponse
20 cm carrés
Étapes
- 1Aucune hauteur perpendiculaire n'est donnée, utilisez donc aire = (1/2) x a x b x sin C.
- 2Ici a = 8, b = 10, et C = 30 degrés, l'angle entre eux.
- 3sin 30 degrés = 0,5.
- 4Substituez : (1/2) x 8 x 10 x 0,5.
- 5(1/2) x 80 = 40, et 40 x 0,5 = 20 cm carrés.
Erreurs fréquentes
Utiliser un côté oblique comme hauteur.
La hauteur doit être perpendiculaire à la base. Un côté oblique est plus long que la hauteur perpendiculaire et gonfle l'aire.
Oublier la moitié et annoncer base fois hauteur.
Un triangle est la moitié du rectangle qui l'entoure. Oublier la moitié double toutes les réponses.
Utiliser l'hypoténuse comme base dans un triangle rectangle sans sa propre hauteur.
Utilisez les deux côtés de l'angle droit. Ils sont déjà perpendiculaires, ce qui est exactement ce que demande la formule.
Donner la réponse en cm plutôt qu'en cm carrés.
Une aire s'exprime toujours en unités carrées. On perd plus de points là-dessus que sur le calcul.
À toi de t'entraîner
Résous-les d'abord, puis ouvre la réponse. Bloqué à mi-chemin ? Sélectionne l'exercice et demande à Solvecoon l'étape qui te manque.
1. Base 9 cm, hauteur perpendiculaire 6 cm. Trouvez l'aire.
Voir la réponse
27 cm carrés. La moitié de 9 x 6 = 54.
2. Un triangle a une aire de 48 cm carrés et une base de 16 cm. Trouvez sa hauteur.
Voir la réponse
6 cm. De 48 = (1/2)(16)h, donc 48 = 8h.
3. Un triangle rectangle a des côtés de 5, 12 et 13. Trouvez son aire.
Voir la réponse
30. Les petits côtés valent 5 et 12, donc l'aire est la moitié de 60.
Les questions qu'on nous pose
- Quel côté choisir comme base ?
- Celui dont vous connaissez réellement une hauteur perpendiculaire. L'aire est la même pour les trois choix.
- Et si je ne connais que les trois côtés ?
- Utilisez la formule de Héron, qui part des trois longueurs et du demi-périmètre sans avoir besoin d'une hauteur.
- La formule du sinus exige-t-elle des radians ?
- Seulement si votre calculatrice est en mode radians. Vérifiez le mode avant de faire confiance à la réponse, car le mauvais mode donne un nombre plausible mais faux.
- Pourquoi l'aire vaut-elle la moitié de la base fois la hauteur ?
- Parce que deux copies d'un triangle s'assemblent en un parallélogramme de même base et de même hauteur, et l'aire du parallélogramme vaut base fois hauteur.
Tu en as un sous les yeux ?
Sélectionne l'exercice sur la page ou capture-le avec Cmd/Ctrl + Maj + S, et Solvecoon le déroule avec toi.
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