Как найти площадь треугольника
Половина основания на высоту покрывает почти любой треугольник, который вам встретится, если высота перпендикулярна выбранному основанию. Два других способа существуют на случай, когда такая высота не дана.
Основная формула
Площадь = (1/2) x основание x высота, где высота — перпендикулярное расстояние от основания до противоположной вершины. Основанием может быть любая из трёх сторон, если используемая высота измерена перпендикулярно именно этой стороне.
С прямоугольными проще
В прямоугольном треугольнике катеты уже перпендикулярны друг другу, поэтому один служит основанием, а другой высотой. Никаких дополнительных построений не нужно, а гипотенуза в формуле площади не участвует вовсе.
Когда известны две стороны и угол между ними
- Площадь = (1/2) x a x b x sin C, где C — угол между сторонами a и b.
- Угол должен быть именно между этими двумя сторонами, а не какой-то другой.
- Этот вариант применяют, когда перпендикулярная высота не дана.
Разобранные примеры
Пример 1
Вопрос
У треугольника основание 12 см и высота 5 см. Найдите площадь.
Ответ
30 см в квадрате
Шаги
- 1Берём площадь = (1/2) x основание x высота.
- 2Подставляем: (1/2) x 12 x 5.
- 3(1/2) x 12 = 6, а 6 x 5 = 30.
- 4Площадь = 30 см в квадрате. Единицы в квадрате, потому что перемножены две длины.
Пример 2
Вопрос
У прямоугольного треугольника катеты 7 см и 24 см, гипотенуза 25 см. Найдите площадь.
Ответ
84 см в квадрате
Шаги
- 1Катеты перпендикулярны друг другу, значит служат основанием и высотой.
- 2Площадь = (1/2) x 7 x 24.
- 37 x 24 = 168.
- 4Половина от 168 равна 84, значит площадь 84 см в квадрате.
25 здесь для отвлечения. Взять гипотенузу за основание без соответствующей ей высоты — классическая ловушка этой задачи.
Пример 3
Вопрос
Две стороны равны 8 см и 10 см, угол между ними 30 градусов. Найдите площадь.
Ответ
20 см в квадрате
Шаги
- 1Перпендикулярная высота не дана, поэтому берём площадь = (1/2) x a x b x sin C.
- 2Здесь a = 8, b = 10, а C = 30 градусов — угол между ними.
- 3sin 30 градусов = 0,5.
- 4Подставляем: (1/2) x 8 x 10 x 0,5.
- 5(1/2) x 80 = 40, а 40 x 0,5 = 20 см в квадрате.
Частые ошибки
Взять наклонную сторону за высоту.
Высота должна быть перпендикулярна основанию. Наклонная сторона длиннее перпендикулярной высоты и завышает площадь.
Забыть про половину и записать основание на высоту.
Треугольник — половина описанного вокруг него прямоугольника. Потеря половины удваивает любой ответ.
Взять гипотенузу за основание в прямоугольном треугольнике без её собственной высоты.
Используйте катеты. Они уже перпендикулярны, а формуле нужно именно это.
Записать ответ в см вместо см в квадрате.
Площадь всегда в квадратных единицах. На этом теряют баллы чаще, чем на арифметике.
Потренируйтесь
Сначала решите сами, потом откройте ответ. Застряли на середине? Выделите задачу и спросите у Solvecoon недостающий шаг.
1. Основание 9 см, высота 6 см. Найдите площадь.
Показать ответ
27 см в квадрате. Половина от 9 x 6 = 54.
2. У треугольника площадь 48 см в квадрате и основание 16 см. Найдите высоту.
Показать ответ
6 см. Из 48 = (1/2)(16)h следует 48 = 8h.
3. У прямоугольного треугольника стороны 5, 12 и 13. Найдите площадь.
Показать ответ
30. Катеты равны 5 и 12, значит площадь — половина от 60.
О чём спрашивают
- Какую сторону выбрать за основание?
- Ту, для которой вы действительно знаете перпендикулярную высоту. Площадь получится одинаковой при любом из трёх выборов.
- А если известны только три стороны?
- Возьмите формулу Герона: она работает по трём длинам и полупериметру и не требует высоты.
- Нужны ли радианы для формулы с синусом?
- Только если калькулятор в режиме радиан. Проверьте режим, прежде чем доверять ответу: в неверном режиме получится правдоподобное, но неверное число.
- Почему площадь — половина произведения основания на высоту?
- Потому что две копии треугольника складываются в параллелограмм с тем же основанием и высотой, а площадь параллелограмма равна основанию на высоту.
Одна такая прямо перед вами?
Выделите задачу на странице или заснимите её через Cmd/Ctrl + Shift + S, и Solvecoon разберёт её вместе с вами.
Добавить в Chrome →Попробуйте бесплатно — 5 решений в день. Без карты.