Come calcolare l'area di un triangolo
Base per altezza diviso due copre quasi tutti i triangoli che incontrerai, purché tu usi un'altezza perpendicolare alla base scelta. Gli altri due metodi esistono per quando quell'altezza perpendicolare non è data.
La formula standard
Area = (1/2) x base x altezza, dove l'altezza è la distanza perpendicolare dalla base al vertice opposto. Qualunque dei tre lati può fare da base, purché l'altezza che usi sia misurata perpendicolarmente a quel lato.
I triangoli rettangoli sono più facili
In un triangolo rettangolo i due cateti sono già perpendicolari tra loro, quindi uno fa da base e l'altro da altezza. Non serve alcuna costruzione aggiuntiva, e l'ipotenusa non entra mai nella formula dell'area.
Quando hai due lati e l'angolo compreso
- Area = (1/2) x a x b x sen C, dove C è l'angolo tra i lati a e b.
- L'angolo dev'essere quello compreso tra i due lati, non un altro.
- È la versione da usare quando non è data nessuna altezza perpendicolare.
Esempi svolti
Esempio 1
Domanda
Un triangolo ha base 12 cm e altezza perpendicolare 5 cm. Trova la sua area.
Risposta
30 cm quadrati
Passaggi
- 1Usa area = (1/2) x base x altezza.
- 2Sostituisci: (1/2) x 12 x 5.
- 3(1/2) x 12 = 6, e 6 x 5 = 30.
- 4Area = 30 cm quadrati. Le unità sono al quadrato perché sono state moltiplicate due lunghezze.
Esempio 2
Domanda
Un triangolo rettangolo ha cateti di 7 cm e 24 cm e ipotenusa di 25 cm. Trova la sua area.
Risposta
84 cm quadrati
Passaggi
- 1I due cateti sono perpendicolari tra loro, quindi fanno da base e altezza.
- 2Area = (1/2) x 7 x 24.
- 37 x 24 = 168.
- 4La metà di 168 è 84, quindi l'area è 84 cm quadrati.
Il 25 è un distrattore. Usare l'ipotenusa come base senza la sua altezza perpendicolare è la trappola classica di questa domanda.
Esempio 3
Domanda
Due lati misurano 8 cm e 10 cm con un angolo di 30 gradi tra loro. Trova l'area.
Risposta
20 cm quadrati
Passaggi
- 1Non è data nessuna altezza perpendicolare, quindi usa area = (1/2) x a x b x sen C.
- 2Qui a = 8, b = 10 e C = 30 gradi, l'angolo compreso.
- 3sen 30 gradi = 0,5.
- 4Sostituisci: (1/2) x 8 x 10 x 0,5.
- 5(1/2) x 80 = 40, e 40 x 0,5 = 20 cm quadrati.
Errori comuni
Usare un lato obliquo come altezza.
L'altezza dev'essere perpendicolare alla base. Un lato obliquo è più lungo dell'altezza perpendicolare e gonfia l'area.
Dimenticare la metà e dare base per altezza.
Un triangolo è la metà del rettangolo che lo contiene. Saltare la metà raddoppia ogni risposta.
Usare l'ipotenusa come base in un triangolo rettangolo senza la sua altezza.
Usa i due cateti. Sono già perpendicolari, che è esattamente ciò che serve alla formula.
Dare la risposta in cm invece che in cm quadrati.
L'area è sempre in unità quadrate. Si perdono più punti per questo che per i calcoli.
Mettiti alla prova
Risolvili prima tu, poi apri la risposta. Bloccato a metà? Seleziona il problema e chiedi a Solvecoon il passaggio che ti manca.
1. Base 9 cm, altezza perpendicolare 6 cm. Trova l'area.
Mostra la risposta
27 cm quadrati. La metà di 9 x 6 = 54.
2. Un triangolo ha area 48 cm quadrati e base 16 cm. Trova la sua altezza.
Mostra la risposta
6 cm. Da 48 = (1/2)(16)h, quindi 48 = 8h.
3. Un triangolo rettangolo ha lati 5, 12 e 13. Trova la sua area.
Mostra la risposta
30. I cateti sono 5 e 12, quindi l'area è la metà di 60.
Le domande che ci fanno
- Quale lato scelgo come base?
- Quello di cui conosci davvero un'altezza perpendicolare. L'area viene uguale per tutte e tre le scelte.
- E se conosco solo i tre lati?
- Usa la formula di Erone, che lavora sulle tre lunghezze e sul semiperimetro senza bisogno di un'altezza.
- La formula con il seno richiede i radianti?
- Solo se la tua calcolatrice è in modalità radianti. Controlla la modalità prima di fidarti della risposta, perché quella sbagliata dà un numero plausibile ma errato.
- Perché l'area è la metà di base per altezza?
- Perché due copie di un triangolo si compongono in un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza, e l'area del parallelogramma è base per altezza.
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