Wie man die Fläche eines Dreiecks berechnet
Halbe Grundseite mal Höhe deckt fast jedes Dreieck ab, das dir begegnet, solange du eine Höhe nimmst, die senkrecht auf der gewählten Grundseite steht. Die anderen beiden Methoden gibt es für den Fall, dass diese senkrechte Höhe nicht gegeben ist.
Die Standardformel
Fläche = (1/2) x Grundseite x Höhe, wobei die Höhe der senkrechte Abstand von der Grundseite zum gegenüberliegenden Eckpunkt ist. Jede der drei Seiten kann Grundseite sein, solange die verwendete Höhe senkrecht auf dieser Seite gemessen wird.
Rechtwinklige Dreiecke sind einfacher
In einem rechtwinkligen Dreieck stehen die beiden Katheten bereits senkrecht aufeinander, also ist die eine Grundseite und die andere Höhe. Es braucht keine zusätzliche Konstruktion, und die Hypotenuse kommt in der Flächenformel nie vor.
Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind
- Fläche = (1/2) x a x b x sin C, wobei C der Winkel zwischen den Seiten a und b ist.
- Der Winkel muss der zwischen den beiden Seiten sein, kein anderer.
- Das ist die Version für den Fall, dass keine senkrechte Höhe gegeben ist.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Frage
Ein Dreieck hat eine Grundseite von 12 cm und eine senkrechte Höhe von 5 cm. Bestimme seine Fläche.
Antwort
30 cm zum Quadrat
Schritte
- 1Nutze Fläche = (1/2) x Grundseite x Höhe.
- 2Einsetzen: (1/2) x 12 x 5.
- 3(1/2) x 12 = 6, und 6 x 5 = 30.
- 4Fläche = 30 cm zum Quadrat. Die Einheit ist quadriert, weil zwei Längen multipliziert wurden.
Beispiel 2
Frage
Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von 7 cm und 24 cm und eine Hypotenuse von 25 cm. Bestimme seine Fläche.
Antwort
84 cm zum Quadrat
Schritte
- 1Die beiden Katheten stehen senkrecht aufeinander, dienen also als Grundseite und Höhe.
- 2Fläche = (1/2) x 7 x 24.
- 37 x 24 = 168.
- 4Die Hälfte von 168 ist 84, die Fläche beträgt also 84 cm zum Quadrat.
Die 25 ist ein Ablenker. Die Hypotenuse als Grundseite zu nehmen, ohne ihre eigene senkrechte Höhe, ist die Standardfalle in dieser Aufgabe.
Beispiel 3
Frage
Zwei Seiten messen 8 cm und 10 cm, mit einem Winkel von 30 Grad dazwischen. Bestimme die Fläche.
Antwort
20 cm zum Quadrat
Schritte
- 1Es ist keine senkrechte Höhe gegeben, also nutze Fläche = (1/2) x a x b x sin C.
- 2Hier ist a = 8, b = 10 und C = 30 Grad, der Winkel dazwischen.
- 3sin 30 Grad = 0,5.
- 4Einsetzen: (1/2) x 8 x 10 x 0,5.
- 5(1/2) x 80 = 40, und 40 x 0,5 = 20 cm zum Quadrat.
Typische Fehler
Eine schräge Seite als Höhe nehmen.
Die Höhe muss senkrecht auf der Grundseite stehen. Eine schräge Seite ist länger als die senkrechte Höhe und bläht die Fläche auf.
Die Hälfte vergessen und Grundseite mal Höhe angeben.
Ein Dreieck ist die Hälfte des Rechtecks um es herum. Die fehlende Hälfte verdoppelt jede Antwort.
Im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse als Grundseite nehmen, ohne ihre eigene Höhe.
Nutz die beiden Katheten. Sie stehen schon senkrecht aufeinander, und genau das braucht die Formel.
Die Antwort in cm statt in cm zum Quadrat angeben.
Flächen stehen immer in quadrierten Einheiten. Dafür gehen häufiger Punkte verloren als für die Rechnung.
Selbst üben
Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.
1. Grundseite 9 cm, senkrechte Höhe 6 cm. Bestimme die Fläche.
Antwort zeigen
27 cm zum Quadrat. Die Hälfte von 9 x 6 = 54.
2. Ein Dreieck hat 48 cm zum Quadrat Fläche und eine Grundseite von 16 cm. Bestimme seine Höhe.
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6 cm. Aus 48 = (1/2)(16)h, also 48 = 8h.
3. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 5, 12 und 13. Bestimme seine Fläche.
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30. Die Katheten sind 5 und 12, die Fläche ist also die Hälfte von 60.
Was oft gefragt wird
- Welche Seite soll ich als Grundseite wählen?
- Die, zu der du tatsächlich eine senkrechte Höhe kennst. Die Fläche kommt bei allen drei Wahlmöglichkeiten gleich heraus.
- Was, wenn ich nur die drei Seiten kenne?
- Nimm die Formel von Heron, die aus den drei Seitenlängen und dem halben Umfang arbeitet und keine Höhe braucht.
- Braucht die Sinusformel Bogenmaß?
- Nur wenn dein Taschenrechner im Bogenmaß steht. Prüf den Modus, bevor du der Antwort traust, denn der falsche Modus liefert eine plausible, aber falsche Zahl.
- Warum ist die Fläche die halbe Grundseite mal Höhe?
- Weil zwei Kopien eines Dreiecks zu einem Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe zusammenpassen, und dessen Fläche ist Grundseite mal Höhe.
Hast du gerade eine vor dir?
Markier die Aufgabe auf der Seite oder schnapp sie mit Cmd/Strg + Umschalt + S, und Solvecoon geht sie mit dir durch.
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