Le théorème de Pythagore, expliqué
Dans tout triangle rectangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres. Cela ne vaut que pour les triangles rectangles, et le plus long côté est toujours celui opposé à l'angle droit.
Ce que signifient les lettres
- c est l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long.
- a et b sont les côtés de l'angle droit : les deux côtés qui le forment.
- La relation est a^2 + b^2 = c^2, et c n'est jamais l'un des deux petits côtés.
Trouver un petit côté à la place
Réarrangez plutôt que de repartir de zéro. Si vous connaissez c et un petit côté, alors a^2 = c^2 - b^2. La soustraction fait toute la différence, et l'effectuer dans le mauvais ordre est ce qui produit un négatif sous la racine.
Des triplets à reconnaître
- 3, 4, 5 et ses multiples : 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
- 5, 12, 13.
- 7, 24, 25.
- 8, 15, 17.
Exemples détaillés
Exemple 1
Question
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 6 cm et 8 cm. Trouvez l'hypoténuse.
Réponse
10 cm
Étapes
- 1Les deux côtés donnés forment l'angle droit, ce sont donc les deux petits côtés.
- 2Appliquez le théorème : c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
- 3Prenez la racine carrée positive : c = 10 cm.
- 4Reconnaissez le motif : c'est le triplet 3-4-5 doublé.
Exemple 2
Question
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 m et un petit côté de 5 m. Trouvez l'autre petit côté.
Réponse
12 m
Étapes
- 1Le 13 est l'hypoténuse, c'est donc c, pas un petit côté.
- 2Réarrangez : b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2.
- 3Cela fait 169 - 25 = 144.
- 4Prenez la racine : b = 12 m.
- 5Vérification : 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, soit 13^2.
Additionner au lieu de soustraire donne ici racine de 194, environ 13,9, ce qui est plus long que l'hypoténuse. Un petit côté plus long que l'hypoténuse est impossible, et le remarquer permet d'attraper l'erreur.
Exemple 3
Question
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur, son pied à 1,4 m du mur. À quelle hauteur atteint-elle ?
Réponse
4,8 m
Étapes
- 1L'échelle est l'hypoténuse car elle est opposée à l'angle droit entre le mur et le sol.
- 2Donc hauteur^2 = 5^2 - 1,4^2 = 25 - 1,96.
- 3Cela donne 23,04.
- 4Prenez la racine : hauteur = 4,8 m.
- 5Contrôle de bon sens : la hauteur est inférieure à la longueur de l'échelle, comme il se doit.
Erreurs fréquentes
Traiter un côté donné comme un petit côté alors que c'est l'hypoténuse.
Repérez d'abord l'angle droit. Le côté qui lui est opposé est c, et c'est toujours le plus long.
Utiliser le théorème sur un triangle sans angle droit.
Il ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Sans angle droit, il faut la loi des cosinus.
Oublier la racine carrée finale et annoncer 100 au lieu de 10.
c^2 = 100 signifie c = 10. La dernière ligne, c'est la racine, pas le carré.
Additionner les carrés alors qu'on vous demandait un petit côté.
Trouver un petit côté, c'est soustraire : c^2 - a^2. Si la réponse sort plus longue que l'hypoténuse, vous avez additionné.
À toi de t'entraîner
Résous-les d'abord, puis ouvre la réponse. Bloqué à mi-chemin ? Sélectionne l'exercice et demande à Solvecoon l'étape qui te manque.
1. Petits côtés de 9 et 12. Trouvez l'hypoténuse.
Voir la réponse
15. 81 + 144 = 225, et la racine de 225 vaut 15.
2. Hypoténuse 17, un petit côté 8. Trouvez l'autre.
Voir la réponse
15. 289 - 64 = 225, et la racine vaut 15.
3. Un triangle de côtés 7, 24 et 25 est-il rectangle ?
Voir la réponse
Oui. 49 + 576 = 625, ce qui vaut 25^2, donc le théorème est vérifié et l'angle est droit.
Les questions qu'on nous pose
- Cela marche-t-il pour n'importe quel triangle ?
- Non, seulement pour les triangles rectangles. Pour les autres, utilisez la loi des cosinus, qui se réduit à Pythagore quand l'angle vaut 90 degrés.
- Comment savoir quel côté est l'hypoténuse ?
- C'est celui opposé à l'angle droit. C'est aussi toujours le plus long côté, ce qui donne un contrôle rapide de n'importe quelle réponse.
- Puis-je l'utiliser pour tester si un angle est droit ?
- Oui. Si a^2 + b^2 égale c^2 l'angle est droit, si la somme est plus grande l'angle est aigu, et si elle est plus petite il est obtus.
- Cela marche-t-il en trois dimensions ?
- Oui, en l'appliquant deux fois. Trouvez d'abord la diagonale de la base, puis traitez-la comme un petit côté avec la hauteur pour obtenir la diagonale de l'espace.
Tu en as un sous les yeux ?
Sélectionne l'exercice sur la page ou capture-le avec Cmd/Ctrl + Maj + S, et Solvecoon le déroule avec toi.
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