Twierdzenie Pitagorasa, wyjaśnione
W każdym trójkącie prostokątnym kwadrat najdłuższego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych. Działa to tylko dla trójkątów prostokątnych, a najdłuższy bok zawsze leży naprzeciw kąta prostego.
Co oznaczają litery
- c to przeciwprostokątna: bok naprzeciw kąta prostego, zawsze najdłuższy.
- a i b to przyprostokątne: dwa boki tworzące kąt prosty.
- Zależność to a^2 + b^2 = c^2, a c nigdy nie jest przyprostokątną.
Szukanie przyprostokątnej
Przekształć wzór, zamiast zaczynać od nowa. Jeśli znasz c i jedną przyprostokątną, to a^2 = c^2 - b^2. Cała różnica polega na odejmowaniu, a wykonanie go w złej kolejności daje liczbę ujemną pod pierwiastkiem.
Trójki warte zapamiętania
- 3, 4, 5 i jej wielokrotności: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
- 5, 12, 13.
- 7, 24, 25.
- 8, 15, 17.
Rozpisane przykłady
Przykład 1
Pytanie
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 6 cm i 8 cm. Znajdź przeciwprostokątną.
Odpowiedź
10 cm
Kroki
- 1Oba podane boki tworzą kąt prosty, więc oba są przyprostokątnymi.
- 2Zastosuj twierdzenie: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
- 3Weź pierwiastek dodatni: c = 10 cm.
- 4Rozpoznaj wzór: to podwojona trójka 3-4-5.
Przykład 2
Pytanie
Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną 13 m i jedną przyprostokątną 5 m. Znajdź drugą przyprostokątną.
Odpowiedź
12 m
Kroki
- 113 to przeciwprostokątna, czyli c, a nie przyprostokątna.
- 2Przekształć: b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2.
- 3To 169 - 25 = 144.
- 4Weź pierwiastek: b = 12 m.
- 5Sprawdzenie: 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, czyli 13^2.
Dodanie zamiast odjęcia daje tu pierwiastek z 194, około 13,9, czyli więcej niż przeciwprostokątna. Przyprostokątna dłuższa od przeciwprostokątnej jest niemożliwa, a zauważenie tego wyłapuje błąd.
Przykład 3
Pytanie
Drabina o długości 5 m opiera się o ścianę, a jej podstawa stoi 1,4 m od ściany. Na jaką wysokość sięga?
Odpowiedź
4,8 m
Kroki
- 1Drabina jest przeciwprostokątną, bo leży naprzeciw kąta prostego między ścianą a podłożem.
- 2Zatem wysokość^2 = 5^2 - 1,4^2 = 25 - 1,96.
- 3To daje 23,04.
- 4Weź pierwiastek: wysokość = 4,8 m.
- 5Sprawdzenie zdroworozsądkowe: wysokość jest mniejsza od długości drabiny, tak jak być musi.
Częste błędy
Potraktowanie podanego boku jako przyprostokątnej, gdy jest on przeciwprostokątną.
Najpierw znajdź kąt prosty. Bok naprzeciw niego to c i zawsze jest najdłuższy.
Użycie twierdzenia w trójkącie bez kąta prostego.
Dotyczy tylko trójkątów prostokątnych. Bez kąta prostego potrzebne jest twierdzenie cosinusów.
Zapomnienie o pierwiastku na końcu i podanie 100 zamiast 10.
c^2 = 100 znaczy c = 10. Ostatni wiersz to pierwiastek, a nie kwadrat.
Dodanie kwadratów, gdy pytano o przyprostokątną.
Szukanie przyprostokątnej to odejmowanie: c^2 - a^2. Jeśli wynik wychodzi dłuższy od przeciwprostokątnej, dodano zamiast odjąć.
Poćwicz
Najpierw rozwiąż je sam, potem otwórz odpowiedź. Utknąłeś w połowie? Zaznacz zadanie i poproś Solvecoon o brakujący krok.
1. Przyprostokątne 9 i 12. Znajdź przeciwprostokątną.
Pokaż odpowiedź
15. 81 + 144 = 225, a pierwiastek z 225 to 15.
2. Przeciwprostokątna 17, jedna przyprostokątna 8. Znajdź drugą.
Pokaż odpowiedź
15. 289 - 64 = 225, a pierwiastek to 15.
3. Czy trójkąt o bokach 7, 24 i 25 jest prostokątny?
Pokaż odpowiedź
Tak. 49 + 576 = 625, czyli 25^2, więc twierdzenie zachodzi i kąt jest prosty.
O co ludzie pytają
- Czy działa dla dowolnego trójkąta?
- Nie, tylko dla prostokątnych. Dla pozostałych używa się twierdzenia cosinusów, które przy kącie 90 stopni sprowadza się do Pitagorasa.
- Jak poznać, który bok jest przeciwprostokątną?
- Leży naprzeciw kąta prostego. Jest też zawsze najdłuższym bokiem, co daje szybkie sprawdzenie każdej odpowiedzi.
- Czy mogę nim sprawdzić, czy kąt jest prosty?
- Tak. Jeśli a^2 + b^2 równa się c^2, kąt jest prosty; jeśli suma jest większa, kąt jest ostry, a jeśli mniejsza, rozwarty.
- Czy działa w trzech wymiarach?
- Tak, zastosowane dwa razy. Najpierw znajdź przekątną podstawy, a potem potraktuj ją jako przyprostokątną razem z wysokością, żeby otrzymać przekątną bryły.
Masz jedno przed sobą?
Zaznacz zadanie na stronie albo zrób zrzut przez Cmd/Ctrl + Shift + S, a Solvecoon przejdzie je z tobą.
Dodaj do Chrome →Wypróbuj za darmo — 5 rozwiązań dziennie. Bez karty.