Solvecoon勾股定理讲解
在任何直角三角形中，最长边上的正方形面积等于另外两边上正方形面积之和。它只对直角三角形成立，而最长的边总是直角所对的那条。
字母的含义
- c 是斜边：直角所对的边，永远是最长的一条。
- a 和 b 是直角边：构成直角的那两条边。
- 关系是 a^2 + b^2 = c^2，而 c 绝不会是直角边。
改为求一条直角边
变形公式，而不是从头再来。若已知 c 和一条直角边，那么 a^2 = c^2 - b^2。全部差别就在这个减法上，顺序反了就会在根号里出现负数。
值得记住的勾股数
- 3、4、5 及其倍数：6-8-10、9-12-15、30-40-50。
- 5、12、13。
- 7、24、25。
- 8、15、17。
例题详解
例 1
题目
一个直角三角形的两条直角边为 6 厘米和 8 厘米。求斜边。
答案
10 厘米
步骤
- 1给出的两条边构成直角，所以都是直角边。
- 2套用定理：c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100。
- 3取正平方根：c = 10 厘米。
- 4认出规律：这是 3-4-5 勾股数的两倍。
例 2
题目
一个直角三角形的斜边为 13 米，一条直角边为 5 米。求另一条直角边。
答案
12 米
步骤
- 113 是斜边，所以它是 c，不是直角边。
- 2变形：b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2。
- 3也就是 169 - 25 = 144。
- 4取平方根：b = 12 米。
- 5检验：5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169，正是 13^2。
这里若用加法而不是减法，会得到根号 194，约 13.9，比斜边还长。直角边比斜边长是不可能的，注意到这一点就能抓住错误。
例 3
题目
一架 5 米长的梯子靠在墙上，底部离墙 1.4 米。它能够到多高？
答案
4.8 米
步骤
- 1梯子是斜边，因为它正对墙面与地面构成的直角。
- 2所以 高度^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96。
- 3得到 23.04。
- 4取平方根：高度 = 4.8 米。
- 5常识检验：高度小于梯子长度，本该如此。
常见错误
把实际上是斜边的一条边当成直角边。
先找到直角。它所对的那条边就是 c，而且永远最长。
在没有直角的三角形里套用定理。
它只适用于直角三角形。没有直角就得用余弦定理。
忘了最后开平方，把答案写成 100 而不是 10。
c^2 = 100 意味着 c = 10。最后一行是开根号，不是平方。
题目问直角边，却把两个平方相加。
求直角边要做减法：c^2 - a^2。如果答案比斜边还长，说明你加错了。
动手练一练
先自己算，再打开答案。算到一半卡住了？选中题目，问 Solvecoon 你缺的那一步。
1. 两条直角边为 9 和 12。求斜边。
查看答案
15。81 + 144 = 225，而 225 的平方根是 15。
2. 斜边 17，一条直角边 8。求另一条直角边。
查看答案
15。289 - 64 = 225，平方根是 15。
3. 边长为 7、24、25 的三角形是直角三角形吗？
查看答案
是。49 + 576 = 625，正好等于 25^2，所以定理成立，该角为直角。
大家常问的问题
- 它对任何三角形都成立吗？
- 不，只对直角三角形。其他三角形要用余弦定理，而当角为 90 度时余弦定理就退化成勾股定理。
- 怎么判断哪条边是斜边？
- 它正对直角。它同时也永远是最长的一条边，这可以用来快速检查任何答案。
- 能用它检验一个角是不是直角吗？
- 能。若 a^2 + b^2 等于 c^2，该角为直角；若和更大，该角为锐角；若更小，则为钝角。
- 它在三维中适用吗？
- 适用，只要用两次。先求底面的对角线，再把它当作一条直角边与高度组合，得到空间对角线。