O teorema de Pitágoras, explicado
Em qualquer triângulo rectângulo, o quadrado do lado maior é igual à soma dos quadrados dos outros dois. Só resulta para triângulos rectângulos, e o lado maior é sempre o oposto ao ângulo recto.
O que significam as letras
- c é a hipotenusa: o lado oposto ao ângulo recto, sempre o maior.
- a e b são os catetos: os dois lados que formam o ângulo recto.
- A relação é a^2 + b^2 = c^2, e c nunca é um dos catetos.
Determinar antes um cateto
Reescreva a fórmula em vez de começar do zero. Se conhece c e um cateto, então a^2 = c^2 - b^2. A subtracção é toda a diferença, e fazê-la pela ordem errada é o que produz um negativo dentro da raiz.
Ternos a reconhecer
- 3, 4, 5 e os seus múltiplos: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
- 5, 12, 13.
- 7, 24, 25.
- 8, 15, 17.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Pergunta
Um triângulo rectângulo tem catetos de 6 cm e 8 cm. Determine a hipotenusa.
Resposta
10 cm
Passos
- 1Ambos os lados dados formam o ângulo recto, logo ambos são catetos.
- 2Aplique o teorema: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
- 3Extraia a raiz quadrada positiva: c = 10 cm.
- 4Reconheça o padrão: é o terno 3-4-5 duplicado.
Exemplo 2
Pergunta
Um triângulo rectângulo tem hipotenusa de 13 m e um cateto de 5 m. Determine o outro cateto.
Resposta
12 m
Passos
- 1O 13 é a hipotenusa, logo é c e não um cateto.
- 2Reescreva: b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2.
- 3Isso é 169 - 25 = 144.
- 4Extraia a raiz: b = 12 m.
- 5Verificação: 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, que é 13^2.
Somar em vez de subtrair dá aqui raiz de 194, cerca de 13,9, que é maior do que a hipotenusa. Um cateto maior do que a hipotenusa é impossível, e reparar nisso apanha o erro.
Exemplo 3
Pergunta
Uma escada de 5 m está encostada a uma parede com a base a 1,4 m dela. Que altura alcança?
Resposta
4,8 m
Passos
- 1A escada é a hipotenusa porque é oposta ao ângulo recto entre a parede e o chão.
- 2Logo altura^2 = 5^2 - 1,4^2 = 25 - 1,96.
- 3Isso dá 23,04.
- 4Extraia a raiz: altura = 4,8 m.
- 5Verificação de bom senso: a altura é menor do que o comprimento da escada, como tem de ser.
Erros comuns
Tratar um lado dado como cateto quando na verdade é a hipotenusa.
Localize primeiro o ângulo recto. O lado oposto é c, e é sempre o maior.
Usar o teorema num triângulo sem ângulo recto.
Só se aplica a triângulos rectângulos. Sem um, é preciso a lei dos cossenos.
Esquecer a raiz quadrada no fim e apresentar 100 em vez de 10.
c^2 = 100 significa c = 10. A última linha é a raiz, não o quadrado.
Somar os quadrados quando pediam um cateto.
Determinar um cateto é subtrair: c^2 - a^2. Se a resposta sair maior do que a hipotenusa, somou.
Pratica
Resolve-os primeiro e só depois abres a resposta. Empancaste a meio? Seleciona o problema e pede ao Solvecoon o passo que te falta.
1. Catetos de 9 e 12. Determine a hipotenusa.
Ver a resposta
15. 81 + 144 = 225, e a raiz de 225 é 15.
2. Hipotenusa 17, um cateto 8. Determine o outro cateto.
Ver a resposta
15. 289 - 64 = 225, e a raiz é 15.
3. Um triângulo de lados 7, 24 e 25 é rectângulo?
Ver a resposta
É. 49 + 576 = 625, que é 25^2, logo o teorema verifica-se e o ângulo é recto.
O que as pessoas perguntam
- Resulta para qualquer triângulo?
- Não, apenas para os rectângulos. Para os outros, use a lei dos cossenos, que se reduz a Pitágoras quando o ângulo é de 90 graus.
- Como sei qual é a hipotenusa?
- É a oposta ao ângulo recto. É também sempre o lado maior, o que serve de verificação rápida a qualquer resposta.
- Posso usá-lo para testar se um ângulo é recto?
- Pode. Se a^2 + b^2 for igual a c^2 o ângulo é recto, se a soma for maior o ângulo é agudo, e se for menor é obtuso.
- Resulta em três dimensões?
- Sim, aplicado duas vezes. Determine primeiro a diagonal da base e depois trate-a como cateto, juntamente com a altura, para chegar à diagonal espacial.
Tens um à tua frente?
Seleciona o problema na página ou captura-o com Cmd/Ctrl + Shift + S, e o Solvecoon resolve-o contigo.
Adicionar ao Chrome →Experimenta grátis — 5 resoluções por dia. Sem cartão.