El teorema de Pitágoras, explicado
En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. Solo funciona con triángulos rectángulos, y el lado más largo es siempre el opuesto al ángulo recto.
Qué significa cada letra
- c es la hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto, siempre el más largo.
- a y b son los catetos: los dos lados que forman el ángulo recto.
- La relación es a^2 + b^2 = c^2, y c nunca es uno de los catetos.
Hallar un cateto en su lugar
Despeja en vez de empezar de cero. Si conoces c y un cateto, entonces a^2 = c^2 - b^2. La resta es toda la diferencia, y hacerla al revés es lo que produce un negativo bajo la raíz.
Ternas que conviene reconocer
- 3, 4, 5 y sus múltiplos: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
- 5, 12, 13.
- 7, 24, 25.
- 8, 15, 17.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Pregunta
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Halla la hipotenusa.
Respuesta
10 cm
Pasos
- 1Los dos lados dados forman el ángulo recto, así que ambos son catetos.
- 2Aplica el teorema: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
- 3Toma la raíz cuadrada positiva: c = 10 cm.
- 4Reconoce el patrón: es la terna 3-4-5 duplicada.
Ejemplo 2
Pregunta
Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 13 m y un cateto de 5 m. Halla el otro cateto.
Respuesta
12 m
Pasos
- 1El 13 es la hipotenusa, así que es c, no un cateto.
- 2Despeja: b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2.
- 3Eso es 169 - 25 = 144.
- 4Toma la raíz: b = 12 m.
- 5Comprobación: 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, que es 13^2.
Sumar en vez de restar aquí da raíz de 194, unos 13,9, que es más largo que la hipotenusa. Un cateto más largo que la hipotenusa es imposible, y darse cuenta detecta el error.
Ejemplo 3
Pregunta
Una escalera de 5 m se apoya en una pared con la base a 1,4 m de ella. ¿A qué altura llega?
Respuesta
4,8 m
Pasos
- 1La escalera es la hipotenusa porque es la opuesta al ángulo recto entre la pared y el suelo.
- 2Así que altura^2 = 5^2 - 1,4^2 = 25 - 1,96.
- 3Eso da 23,04.
- 4Toma la raíz: altura = 4,8 m.
- 5Comprobación de sentido: la altura es menor que la longitud de la escalera, como debe ser.
Errores habituales
Tratar un lado dado como cateto cuando en realidad es la hipotenusa.
Localiza primero el ángulo recto. El lado opuesto es c, y siempre es el más largo.
Usar el teorema en un triángulo sin ángulo recto.
Solo se aplica a triángulos rectángulos. Sin uno, necesitas el teorema del coseno.
Olvidar la raíz cuadrada final y dar 100 en vez de 10.
c^2 = 100 significa c = 10. La última línea es la raíz, no el cuadrado.
Sumar los cuadrados cuando te pedían un cateto.
Hallar un cateto es restar: c^2 - a^2. Si la respuesta sale más larga que la hipotenusa, sumaste.
Practícalo
Resuélvelos primero tú y luego abre la respuesta. ¿Atascado a medias? Selecciona el problema y pídele a Solvecoon el paso que te falta.
1. Catetos de 9 y 12. Halla la hipotenusa.
Ver la respuesta
15. 81 + 144 = 225, y la raíz de 225 es 15.
2. Hipotenusa 17, un cateto 8. Halla el otro cateto.
Ver la respuesta
15. 289 - 64 = 225, y la raíz es 15.
3. ¿Un triángulo de lados 7, 24 y 25 es rectángulo?
Ver la respuesta
Sí. 49 + 576 = 625, que es 25^2, así que el teorema se cumple y el ángulo es recto.
Lo que suele preguntarse
- ¿Funciona con cualquier triángulo?
- No, solo con los rectángulos. Para los demás, usa el teorema del coseno, que se reduce a Pitágoras cuando el ángulo es de 90 grados.
- ¿Cómo sé cuál es la hipotenusa?
- Es la opuesta al ángulo recto. También es siempre el lado más largo, lo que sirve de comprobación rápida de cualquier respuesta.
- ¿Puedo usarlo para comprobar si un ángulo es recto?
- Sí. Si a^2 + b^2 es igual a c^2 el ángulo es recto, si la suma es mayor el ángulo es agudo, y si es menor es obtuso.
- ¿Funciona en tres dimensiones?
- Sí, aplicándolo dos veces. Halla primero la diagonal de la base y luego trátala como un cateto junto con la altura para llegar a la diagonal del espacio.
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