Geschwindigkeit vs. Vektorgeschwindigkeit
Die Bahngeschwindigkeit fragt, wie schnell. Die Vektorgeschwindigkeit fragt, wie schnell und in welche Richtung. Dieses eine zusätzliche Wort ändert die Rechnung, denn die Vektorgeschwindigkeit baut auf der Verschiebung auf, nicht auf der tatsächlich zurückgelegten Strecke.
Skalar und Vektor
- Bahngeschwindigkeit ist ein Skalar: nur ein Betrag, und nie negativ.
- Vektorgeschwindigkeit ist ein Vektor: Betrag und Richtung.
- Die mittlere Bahngeschwindigkeit ist Gesamtstrecke durch Zeit.
- Die mittlere Vektorgeschwindigkeit ist Verschiebung durch Zeit, wobei die Verschiebung die gerade Linie von Start zu Ziel ist.
Strecke gegen Verschiebung
Die Strecke ist, wie weit du entlang deines Weges tatsächlich gelaufen bist. Die Verschiebung ist, wie weit du am Ende vom Start entfernt bist, auf gerader Linie, mit Richtung. Lauf eine volle Runde auf einer Bahn und die Strecke beträgt 400 m, die Verschiebung aber null.
Warum das für die Beschleunigung zählt
Beschleunigung ist die Änderungsrate der Vektorgeschwindigkeit, nicht der Bahngeschwindigkeit. Ein Auto, das mit gleichbleibenden 60 km/h durch eine Kurve fährt, hat konstante Bahngeschwindigkeit und sich ändernde Vektorgeschwindigkeit, weil sich seine Richtung ändert. Damit beschleunigt es, und genau das prüft die Aufgabe meist ab.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Frage
Eine Läuferin absolviert eine Runde auf einer 400-m-Bahn in 80 s. Bestimme die mittlere Bahngeschwindigkeit und die mittlere Vektorgeschwindigkeit.
Antwort
Mittlere Bahngeschwindigkeit 5 m/s, mittlere Vektorgeschwindigkeit 0
Schritte
- 1Die mittlere Bahngeschwindigkeit nutzt die zurückgelegte Strecke: 400 / 80 = 5 m/s.
- 2Die Verschiebung ist die gerade Linie von Start zu Ziel.
- 3Die Läuferin endete dort, wo sie startete, die Verschiebung ist also 0 m.
- 4Mittlere Vektorgeschwindigkeit = 0 / 80 = 0 m/s.
- 5Die Läuferin hat sich offensichtlich bewegt, ist aber nirgendwo anders gelandet.
Das ist die Standardprüfungsfrage zum Thema. Eine mittlere Vektorgeschwindigkeit von null bei einer Bahngeschwindigkeit ungleich null verrät, dass der Weg zum Start zurückführte.
Beispiel 2
Frage
Ein Wanderer geht 3 km nach Osten, dann 4 km nach Norden, in 2 Stunden. Bestimme die mittlere Bahn- und Vektorgeschwindigkeit.
Antwort
Mittlere Bahngeschwindigkeit 3,5 km/h, mittlere Vektorgeschwindigkeit 2,5 km/h nach Nordosten
Schritte
- 1Gesamtstrecke: 3 + 4 = 7 km, also mittlere Bahngeschwindigkeit = 7 / 2 = 3,5 km/h.
- 2Die Verschiebung ist die gerade Linie von Start zu Ziel, gefunden mit Pythagoras.
- 3Betrag der Verschiebung = Wurzel aus (3^2 + 4^2) = Wurzel 25 = 5 km.
- 4Mittlere Vektorgeschwindigkeit = 5 / 2 = 2,5 km/h, in Richtung dieser Geraden.
- 5Eine Vektorgeschwindigkeit ohne Richtungsangabe ist unvollständig.
Beispiel 3
Frage
Ein Auto fährt mit konstanten 30 km/h durch einen Kreisverkehr. Beschleunigt es?
Antwort
Ja
Schritte
- 1Seine Bahngeschwindigkeit ist konstant, eine auf Tempo gestützte Antwort würde also nein sagen.
- 2Beschleunigung ist die Änderungsrate der Vektorgeschwindigkeit, und die enthält die Richtung.
- 3Durch eine Kurve zu fahren ändert die Fahrtrichtung fortwährend.
- 4Die Vektorgeschwindigkeit ändert sich also, auch wenn das Tempo gleich bleibt.
- 5Damit beschleunigt das Auto, und die verursachende Kraft zeigt zum Kreismittelpunkt.
Typische Fehler
Die Gesamtstrecke zur Berechnung der Vektorgeschwindigkeit nutzen.
Die Vektorgeschwindigkeit nutzt die Verschiebung. Ist der Weg keine Gerade, sind die beiden verschiedene Zahlen.
Eine Vektorgeschwindigkeit ohne Richtung angeben.
Eine Vektorantwort braucht eine Richtung, ob als Himmelsrichtung, Winkel oder Vorzeichen.
Sagen, konstantes Tempo heiße keine Beschleunigung.
Nur wenn auch die Richtung konstant ist. Kreisbewegung mit konstantem Tempo ist beschleunigt.
Eine negative Vektorgeschwindigkeit für einen Fehler halten.
Sie bedeutet Bewegung in die von dir als negativ festgelegte Richtung, und das ist eine normale, korrekte Antwort.
Selbst üben
Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.
1. Ein Sprinter läuft 100 m geradeaus in 10 s. Bestimme mittlere Bahn- und Vektorgeschwindigkeit.
Antwort zeigen
Beide sind 10 m/s, denn der Weg ist gerade, also ist die Strecke gleich der Verschiebung.
2. Du fährst 5 km zur Schule und 5 km zurück, insgesamt in 1 Stunde. Wie groß ist deine mittlere Vektorgeschwindigkeit?
Antwort zeigen
Null. Die Verschiebung ist null, weil du endest, wo du begonnen hast, auch wenn die mittlere Bahngeschwindigkeit 10 km/h beträgt.
3. Ein Ball wird hochgeworfen und auf derselben Höhe gefangen. Wie groß ist über den ganzen Flug seine mittlere Vektorgeschwindigkeit?
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Null, aus demselben Grund: die Verschiebung über den Hin- und Rückweg ist null.
Was oft gefragt wird
- Kann die Bahngeschwindigkeit negativ sein?
- Nein. Sie ist ein Betrag, also null oder positiv. Die Vektorgeschwindigkeit kann negativ sein und meint dann die Gegenrichtung.
- Ist die momentane Bahngeschwindigkeit dasselbe wie die momentane Vektorgeschwindigkeit?
- Ihre Beträge sind in jedem Augenblick gleich. Die Vektorgeschwindigkeit trägt zusätzlich die Bewegungsrichtung in diesem Augenblick.
- Was zeigt ein Tacho im Auto an?
- Die Bahngeschwindigkeit. Er hat keine Ahnung, wohin du zeigst, und genau das macht ihn zu einem skalaren Instrument.
- Wie finde ich die Verschiebung bei einem Weg mit Kurven?
- Behandle die Teilstücke als Vektoren und setze sie zusammen. Bei einem rechtwinkligen Weg ist das Pythagoras plus ein Winkel.
Hast du gerade eine vor dir?
Markier die Aufgabe auf der Seite oder schnapp sie mit Cmd/Strg + Umschalt + S, und Solvecoon geht sie mit dir durch.
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